Կորոնավիրուս և մաթեմատիկական կրթություն – Մասամբ պատվիրված հավաքածուներ

Մեզ հարվածած վիրուսը խթանում է արագ կրթական բարեփոխումները: հատկապես բարձրագույն կրթության. Այս թեմայով կարող եք ավելի երկար շարադրություն գրել, անպայման կլինի դոկտորական ատենախոսությունների հոսք հեռավար ուսուցման մեթոդաբանության վերաբերյալ: Որոշակի տեսանկյունից սա վերադարձ է դեպի արմատները և դեպի ինքնաուսումնասիրության մոռացված սովորությունները։ Այդպես էր, օրինակ, Կրեմենեցի միջնակարգ դպրոցում (Կրեմենեցում, այժմ Ուկրաինայում, որը գոյություն է ունեցել 1805-31 թթ., բուսականություն է ունեցել մինչև 1914 թվականը և իր ծաղկման շրջանն ապրել է 1922-1939 թթ.): Աշակերտներն այնտեղ սովորում էին ինքնուրույն. սովորելուց հետո միայն ուսուցիչները մտան ուղղումներ, վերջնական պարզաբանումներ, դժվար վայրերում օգնություն և այլն։ ե. Երբ ես ուսանող դարձա, նրանք էլ ասացին, որ մենք ինքներս պետք է գիտելիք ձեռք բերենք, որ միայն պատվիրենք, դասեր ուղարկենք համալսարան։ Բայց այն ժամանակ դա ընդամենը տեսություն էր...

2020 թվականի գարնանը ես միակը չէի, ով հայտնաբերեցի, որ դասերը (ներառյալ դասախոսությունները, վարժությունները և այլն) կարելի է շատ արդյունավետ կերպով անցկացնել հեռակա կարգով (Google Meet, Microsoft Teams և այլն)՝ մեծ աշխատանքի գնով։ ուսուցչի կողմից, իսկ մյուս կողմից պարզապես «կրթություն ստանալու» ցանկությունը. բայց նաև որոշակի հարմարավետությամբ. ես նստած եմ տանը, իմ աթոռին և ավանդական դասախոսությունների ժամանակ ուսանողները հաճախ նաև այլ բան էին անում: Նման վերապատրաստման ազդեցությունը կարող է նույնիսկ ավելի լավ լինել, քան դասասենյակ-դասերի ավանդական համակարգը, որը սկիզբ է առել միջնադարից: Ի՞նչ կմնա դրանից, երբ վիրուսը դժոխք գնա: Կարծում եմ... բավականին շատ: Բայց մենք կտեսնենք:

Այսօր կխոսեմ մասնակի պատվիրված կոմպլեկտների մասին։ Դա պարզ է. Քանի որ ոչ դատարկ X բազմության մեջ երկուական հարաբերությունը կոչվում է մասնակի կարգի հարաբերություն, երբ կա

(Թադեուշ Կոտարբինսկի, 1886-1981, փիլիսոփա,

Լեհաստանի գիտությունների ակադեմիայի նախագահ 1957–1962 թթ.

1. Ռեֆլեքսիվ, այսինքն՝ յուրաքանչյուր ∈-ի համար կա «,
2. Անցորդը, այսինքն. եթե «, և «, ապա»,
3. Կիսամյակային ասիմետրիկ, այսինքն. («∧»)→ =

Տողը հետևյալ հատկությամբ բազմություն է՝ ցանկացած երկու տարրի համար այս բազմությունը կա՛մ «կամ y» է։ Antichain-ը...

Կանգնի՛ր, կանգ՛՛ Սրանից ինչ-որ բան կարելի՞ է հասկանալ։ Իհարկե այդպես է։ Բայց արդյո՞ք ընթերցողներից որևէ մեկը (ով այլ կերպ չգիտի) արդեն հասկացե՞լ է, թե ինչ է այստեղ:

Մի մտածիր։ Եվ սա մաթեմատիկայի դասավանդման կանոնն է։ Նաև դպրոցում: Նախ՝ պարկեշտ, խիստ սահմանում, իսկ հետո՝ ձանձրույթից չքնողները հաստատ մի բան կհասկանան։ Այս մեթոդը պարտադրել են մաթեմատիկայի «մեծ» ուսուցիչները։ Նա պետք է լինի կոկիկ և խիստ: Ճիշտ է, ի վերջո այդպես էլ պետք է լինի։ Մաթեմատիկան պետք է լինի ճշգրիտ գիտություն (տես նաեւ: ).

Պետք է խոստովանեմ, որ այն համալսարանում, որտեղ աշխատում եմ Վարշավայի համալսարանից թոշակի անցնելուց հետո, ես նույնպես երկար տարիներ դասավանդել եմ։ Միայն դրա մեջ էր սառը ջրի տխրահռչակ դույլը (թող այդպես էլ մնա. դույլի կարիք կար): Հանկարծ բարձր աբստրակցիան դարձավ թեթեւ ու հաճելի։ Նշեք կետը. հեշտ չի նշանակում հեշտ: Թեթև քաշային բռնցքամարտիկը նույնպես դժվարությամբ է ապրում.

Ես կժպտամ իմ հիշողություններին։ Մաթեմատիկայի հիմունքները ինձ դասավանդում էր ֆակուլտետի այն ժամանակվա դեկանը, առաջին կարգի մաթեմատիկոսը, ով նոր էր ժամանել ԱՄՆ-ում երկար մնալուց, որն այն ժամանակ ինքնին արտասովոր բան էր։ Կարծում եմ, որ նա մի քիչ սնոբ էր, երբ մոռացավ մի փոքր լեհերեն: Նա չարաշահեց հին լեհական «դա», «հետևաբար», «ազալե» արտահայտությունը և առաջ քաշեց այս տերմինը՝ «կիսաասիմետրիկ հարաբերություններ»: Ես սիրում եմ օգտագործել այն, դա իսկապես ճշգրիտ է: Ես հավանում եմ. Բայց ես սա չեմ պահանջում ուսանողներից։ Սա սովորաբար կոչվում է «ցածր հակասիմետրիա»: Տասը գեղեցիկ.

Վաղուց, որովհետև յոթանասունականներին (նախորդ դարի) մաթեմատիկայի դասավանդման մեծ, ուրախ բարեփոխում է տեղի ունեցել։ Սա համընկավ Էդուարդ Գիերեկի գահակալության կարճ ժամանակաշրջանի սկզբի հետ՝ մեր երկրի որոշակի բացումը դեպի աշխարհ։ «Երեխաներին կարելի է նաև բարձրագույն մաթեմատիկա սովորեցնել»,— բացականչեցին Մեծ Ուսուցիչները։ Երեխաների համար կազմվել է «Մաթեմատիկայի հիմունքներ» համալսարանական դասախոսության ամփոփագիրը։ Սա միտում էր ոչ միայն Լեհաստանում, այլեւ ողջ Եվրոպայում։ Հավասարումը լուծելը բավարար չէր, ամեն մանրուք պետք էր բացատրել։ Անհիմն չլինելու համար ընթերցողներից յուրաքանչյուրը կարող է լուծել հավասարումների համակարգը.

բայց ուսանողները պետք է հիմնավորեին յուրաքանչյուր քայլը, հղում կատարեին համապատասխան հայտարարություններին և այլն: Սա դասական ձևի գերազանցում էր էության նկատմամբ: Ինձ համար հիմա հեշտ է քննադատել. Ես էլ ժամանակին այս մոտեցման կողմնակիցն էի։ Հուզիչ է... երիտասարդների համար, ովքեր կրքոտ են մաթեմատիկայի նկատմամբ: Դա, իհարկե, եղել է (և, հանուն ուշադրության, ես):

Բայց բավական է լիրիկական շեղումը, անցնենք բուն խնդրին. դասախոսություն, որը «տեսականորեն» նախատեսված էր պոլիտեխնիկի երկրորդ կուրսի ուսանողների համար և եթե չլիներ կոկոսի փաթիլների պես չոր կլիներ: մի քիչ չափազանցնում եմ...

Բարի լույս ձեզ համար: Այսօրվա թեման մասնակի մաքրումն է։ Ոչ, սա անզգույշ մաքրման ակնարկ չէ: Լավագույն համեմատությունը կլինի այն, թե որն է ավելի լավ՝ լոլիկի ապուրը կամ սերուցքային տորթը: Պատասխանը պարզ է՝ նայած ինչ։ Աղանդերի համար՝ թխվածքաբլիթներ, իսկ սննդարար ուտեստի համար՝ ապուր։

Մաթեմատիկայի մեջ գործ ունենք թվերի հետ։ Դրանք դասավորված են. դրանք ավելի ու ավելի փոքր են, բայց երկու տարբեր թվերից մեկը միշտ փոքր է, ինչը նշանակում է, որ մյուսը ավելի մեծ է: Դրանք դասավորված են հերթականությամբ, ինչպես այբուբենի տառերը։ Դասարանի մատյանում հերթականությունը կարող է լինել՝ Ադամչիկ, Բագինսկայա, Չոյնիցկի, Դերկովսկի, Էլգեթ, Ֆիլիպով, Գրեչնիկ, Խոլնիցկի (նրանք իմ դասարանի ընկերներ և դասընկերներ են): Չենք կասկածում նաև, որ Մատուսյակ «Մատուշելյանսկի» Մատուշևսկի «Մատիսյակ. «Կրկնակի անհավասարություն» խորհրդանիշը նշանակում է «նախորդում»:

Իմ արշավային ակումբում մենք փորձում ենք ցուցակներ կազմել այբբենական կարգով, բայց անուններով, օրինակ՝ Ալինա Վրոնսկա «Վարվարա Կաչարովսկա», Սեզար Բուշից և այլն։ Պաշտոնական հաշվետվություններում հերթականությունը կփոխվի։ Մաթեմատիկոսները այբբենական կարգը անվանում են բառարանագրական (լեքսիկոնը քիչ թե շատ նման է բառարանին)։ Մյուս կողմից, այս կարգը, որում երկու մասից (Միխալ Շուրեկ, Ալինա Վրոնսկա, Ստանիսլավ Սմարզինսկի) կազմված անվան մեջ առաջին հերթին նայում ենք երկրորդ մասը, մաթեմատիկոսների համար հակալեքսիկոգրաֆիկ կարգ է։ Երկար վերնագրեր, բայց շատ պարզ բովանդակություն։

1. Գծային կարգ՝ կայաններ և կանգառներ Հաբովկա - Զակոպանե երկաթգծի Պոդհալեից 1899 թվականին կառուցված երթուղու վրա (հապավումների վերծանումը թողնում եմ ընթերցողին)։

Բոլոր նման պատվերները կոչվում են գծային պատվերներ: Պատվիրում ենք հերթականությամբ՝ առաջին, երկրորդ, երրորդ։ Ամեն ինչ կարգին է՝ առաջին կետից մինչև վերջինը։ Սա միշտ չէ, որ իմաստ ունի: Չէ՞ որ գրադարանում գրքերը դասավորում ենք ոչ թե այսպես, այլ բաժիններով։ Միայն բաժնի ներսում մենք այն դասավորում ենք գծային (սովորաբար այբբենական կարգով):

2. Գծային կարգ՝ ավտոմեքենայի շարժիչը գործարկելիս գործողություններ ենք կատարում համաձայնեցված հերթականությամբ։

Ավելի մեծ նախագծերի, հատկապես թիմային աշխատանքի դեպքում մենք այլևս չունենք գծային կարգ: Եկեք նայենք թզ. 3. Մենք ուզում ենք փոքրիկ հյուրանոց կառուցել։ Մենք արդեն փող ունենք (0 բջիջ): Մենք թույլտվություններ ենք պատրաստում, նյութեր հավաքում, սկսում ենք շինարարությունը, միաժամանակ գովազդային արշավ ենք իրականացնում, աշխատակիցներ փնտրում և այլն, և այլն։ Երբ հասնենք «10»-ին, առաջին հյուրերը կարող են գրանցվել (օրինակ՝ պարոն Դոմբրովսկու և Կրակովի արվարձանում գտնվող նրանց փոքրիկ հյուրանոցի պատմություններից): Մենք ունենք ոչ գծային կարգը - որոշ բաներ կարող են տեղի ունենալ զուգահեռ:

Տնտեսագիտության մեջ դուք կսովորեք կրիտիկական ուղու հայեցակարգին: Սա գործողությունների ամբողջությունն է, որոնք պետք է կատարվեն հաջորդաբար (և սա կոչվում է շղթա մաթեմատիկայի մեջ, ավելին մեկ պահի ընթացքում), և որոնք ամենաշատ ժամանակն են պահանջում: Շինարարության ժամանակի կրճատումը կրիտիկական ուղու վերակազմավորում է: Բայց այս մասին ավելի շատ այլ դասախոսություններում (հիշեցնում եմ, որ ես կարդում եմ «համալսարանական դասախոսություն»): Մենք կենտրոնանում ենք մաթեմատիկայի վրա:

Նկար 3-ի նման դիագրամները կոչվում են Հասսեի դիագրամներ (Helmut Hasse, գերմանացի մաթեմատիկոս, 1898–1979): Յուրաքանչյուր բարդ ջանք պետք է ծրագրել այս կերպ։ Մենք տեսնում ենք գործողությունների հաջորդականություն՝ 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10: Մաթեմատիկոսները դրանք անվանում են լարեր։ Ամբողջ գաղափարը բաղկացած է չորս շղթայից. Ի հակադրություն, գործունեության խմբերը 1-2-3-4, 5-6-7 և 8-9 հակաշղթաներ են: Այդպես են կոչվում: Փաստն այն է, որ կոնկրետ խմբում գործողություններից ոչ մեկը կախված չէ նախորդից:

4. Սա նույնպես Հասսեի դիագրամ է։

գնանք դեպի նկար 4. Ինչն է տպավորիչ: Բայց սա կարող է լինել մետրոյի քարտեզ ինչ-որ քաղաքում: Ստորգետնյա երկաթուղիները միշտ խմբավորված են գծերի մեջ. դրանք չեն անցնում մեկից մյուսը: Գծերը անհատական ​​գծեր են: Քաղաքում՝ բրինձ. 4 այո կոլն տող (հիշեք, որ կոլն գրված է «boldem» - լեհերեն այն կոչվում է կիսահաստ):

Այս դիագրամում (նկ. 4) կա կարճ դեղին ABF, վեց կայան ACFKPS, կանաչ ADGL, կապույտ DGMRT և ամենաերկար կարմիրը: Մաթեմատիկոսը կասի՝ այս Հասսեի դիագրամի վրա կա կոլն շղթաներ. Կարմիր գծի վրա է յոթ կայարան՝ AEINRUV. Ինչ վերաբերում է հակաշղթաներին: Նրանք այնտեղ են յոթ. Ընթերցողն արդեն նկատել է, որ երկու անգամ ընդգծեցի բառը յոթ.

Սպասում Սա կայանների այնպիսի հավաքածու է, որ առանց փոխանցման անհնար է դրանցից որևէ մեկից մյուսը հասնել։ Երբ մի փոքր «հասկանանք», կտեսնենք հետևյալ հակաշղթաները՝ A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​SR: Խնդրում ենք ստուգել, ​​օրինակ, BCLTV կայաններից որևէ մեկից հնարավոր չէ մեկնել մեկ այլ BCTLV առանց փոխելու, ավելի ճիշտ՝ առանց ստորև ներկայացված կայան վերադառնալու: Քանի՞ հակաշղթա կա: Յոթը. Ո՞ր չափն է ամենամեծը: Թխել (կրկին թավերով):

Դուք կարող եք պատկերացնել, ուսանողներ, որ այս թվերի համընկնումը պատահական չէ։ Սա. Սա հայտնաբերել և ապացուցել է (այսինքն՝ միշտ ճիշտ է) 1950 թվականին Ռոբերտ Փալմեր Դիլվորթը (1914–1993, ամերիկացի մաթեմատիկոս): Ամբողջ հավաքածուն ծածկելու համար պահանջվող գծերի քանակը հավասար է ամենամեծ հակաշղթայի չափին և հակառակը՝ հակաշղթայի քանակը հավասար է ամենաերկար հակաշղթայի երկարությանը։ Սա միշտ տեղի է ունենում մասամբ պատվիրված հավաքածուում, այսինքն. մեկը, որը կարելի է պատկերացնել: Hassego դիագրամ. Սա լիովին խիստ և ճիշտ սահմանում չէ։ Սա այն է, ինչ մաթեմատիկոսներն անվանում են «աշխատանքային սահմանում»: Սա որոշակիորեն տարբերվում է «աշխատանքային սահմանումից»: Սա հուշում է, թե ինչպես հասկանալ մասնակի պատվիրված հավաքածուները: Սա ցանկացած վերապատրաստման կարևոր մասն է. տեսեք, թե ինչպես է այն աշխատում:

Անգլերեն հապավումն է՝ այս բառը սլավոնական լեզուներով գեղեցիկ է հնչում, մի փոքր նման է տատասկափուշին: Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ տատասկերը նույնպես ճյուղավորված են:

Շատ գեղեցիկ է, բայց ո՞ւմ է դա պետք։ Ձեզ, սիրելի ուսանողներ, դա անհրաժեշտ է քննությունը հանձնելու համար և, հավանաբար, սա բավական լավ պատճառ է այն ուսումնասիրելու համար։ Լսում եմ, ի՞նչ հարցեր։ Ես լսում եմ, պարոն, պատուհանի տակից։ Oh, հարց է, արդյոք սա երբևէ օգտակար կլինի Տիրոջը ձեր կյանքում: Միգուցե ոչ, բայց հաստատ քեզնից խելացի մեկի համար... Գուցե բարդ տնտեսական նախագծում կրիտիկական ճանապարհը վերլուծելու համար:

Այս տեքստը գրում եմ հունիսի կեսերին, Վարշավայի համալսարանում ընթանում են ռեկտորի ընտրությունները։ Ես կարդացել եմ համացանցի օգտատերերի մի քանի մեկնաբանություն։ «Կրթված մարդկանց» նկատմամբ ատելության (կամ «ատելության») զարմանալի քանակ կա։ Ինչ-որ մեկը կոպիտ գրեց, որ համալսարանական կրթությամբ մարդիկ ավելի քիչ գիտեն, քան համալսարանականները։ Իհարկե, չեմ մտնի քննարկման մեջ։ Ես ուղղակի տխուր եմ, որ Լեհաստանի Ժողովրդական Հանրապետությունում վերադառնում է այն կարծիքը, որ ամեն ինչ կարելի է անել մուրճով ու սայրով։ Վերադառնում եմ մաթեմատիկայի.

Դիլվորթի թեորեմը ունի մի քանի հետաքրքիր հավելվածներ: Դրանցից մեկը հայտնի է որպես ամուսնության թեորեմ։թզ. 6). 

Կան կանանց խումբ (ավելի հավանական է աղջիկներ) և մի փոքր ավելի մեծ խումբ տղամարդկանց: Յուրաքանչյուր աղջիկ մտածում է այսպես. «Ես կարող էի ամուսնանալ այս մեկի, այս մեկի, այս մեկի հետ, բայց ոչ մի երրորդի հետ իմ կյանքում»: Եվ այսպես շարունակ, յուրաքանչյուրն ունի իր նախասիրությունները: Մենք գծում ենք գծապատկեր, որը նրանցից յուրաքանչյուրին տանում է մի նետ այն տղայից, ում նա չի մերժում որպես զոհասեղանի թեկնածու: Հարց. Կարո՞ղ են զույգերը համադրվել այնպես, որ յուրաքանչյուրը գտնի իրեն ընդունած ամուսին:

Ֆիլիպ Հոլլի թեորեմը, ասում է, որ դա կարելի է անել - որոշակի պայմաններում, որոնք ես չեմ քննարկի այստեղ (հետո հաջորդ դասախոսության ժամանակ, ուսանողներ, խնդրում եմ): Նշենք, սակայն, որ տղամարդու բավարարվածությունն այստեղ ընդհանրապես չի նշվում։ Ինչպես գիտեք, մեզ ընտրում են կանայք, և ոչ թե հակառակը, ինչպես մեզ թվում է (հիշեցնում եմ, որ ես հեղինակ եմ, ոչ թե հեղինակ):

Որոշ լուրջ մաթեմատիկա. Ինչպե՞ս է Հոլի թեորեմը հետևում Դիլվորթից: Դա շատ պարզ է. Եկեք նորից նայենք 6-րդ նկարին: Այնտեղ շղթաները շատ կարճ են. ունեն 2 երկարություն (ուղղությամբ վազում): Փոքր տղամարդկանց հավաքածուն հակաշղթա է (հենց այն պատճառով, որ սլաքները միայն դեպի են): Այսպիսով, ամբողջ հավաքածուն կարող եք ծածկել այնքան հակաշղթաներով, որքան տղամարդիկ։ Այսպիսով, յուրաքանչյուր կին կունենա նետ: Եվ դա նշանակում է, որ նա կարող է թվալ այն տղային, ում ընդունում է!!!

Սպասեք, ինչ-որ մեկը հարցնում է, այսքանն է՞: Արդյո՞ք այդ ամենը հավելված է: Հորմոնները ինչ-որ կերպ կհամապատասխանեն, և ինչու՞ մաթեմատիկան: Նախ, սա ամբողջ հավելվածը չէ, այլ միայն մեծ շարքերից մեկը: Եկեք նայենք դրանցից մեկին: Թող (նկ. 6) նկատի ունենա ոչ թե ավելի լավ սեռի ներկայացուցիչներ, այլ ավելի շուտ պրոզայիկ գնորդներ, և դրանք ապրանքանիշեր են, օրինակ՝ մեքենաներ, լվացքի մեքենաներ, նիհարեցնող ապրանքներ, տուրիստական ​​գործակալությունների առաջարկներ և այլն: Յուրաքանչյուր գնորդ ունի ապրանքանիշեր, որոնք նա ընդունում է և մերժում է. Կարո՞ղ է ինչ-որ բան անել բոլորին ինչ-որ բան վաճառելու համար և ինչպես: Այստեղ ավարտվում են ոչ միայն կատակները, այլեւ հոդվածի հեղինակի գիտելիքներն այս թեմայով։ Ես միայն գիտեմ, որ վերլուծությունը հիմնված է բավականին բարդ մաթեմատիկայի վրա։

Դպրոցում մաթեմատիկայի դասավանդումը ալգորիթմների ուսուցումն է: Սա վերապատրաստման կարևոր մասն է: Բայց կամաց-կամաց մենք գնում ենք դեպի ուսուցում ոչ այնքան մաթեմատիկա, որքան մաթեմատիկական մեթոդ։ Այսօրվա դասախոսությունը հենց այս մասին էր. մենք խոսում ենք վերացական մտավոր կոնստրուկտների մասին, մտածում ենք առօրյա կյանքի մասին: Խոսքը շղթաների և հակաշղթաների մասին է հակադարձ, անցումային և այլ հարաբերություններով հավաքածուներում, որոնք մենք օգտագործում ենք գնորդ-վաճառող մոդելներում։ Համակարգիչը մեզ համար կանի բոլոր հաշվարկները։ Նա դեռ մաթեմատիկական մոդելներ չի ստեղծի։ Մենք դեռ հաղթում ենք մեր մտածողությամբ։ Ամեն դեպքում, հուսով եմ, որ որքան հնարավոր է երկար!