Ճանապարհորդություն դեպի մաթեմատիկայի անիրական աշխարհ
Պարունակություն
Ես այս հոդվածը գրեցի մի չորեքշաբթի՝ համակարգչային գիտության քոլեջում դասախոսությունից և պրակտիկայից հետո: Ես պաշտպանվում եմ այս դպրոցի սաների քննադատությունից, նրանց գիտելիքներից, գիտության նկատմամբ վերաբերմունքից և ամենակարևորը՝ սովորելու հմտություններից։ Սա... ոչ ոք նրանց չի սովորեցնում։
Ինչու եմ ես այդքան պաշտպանված: Մի պարզ պատճառով՝ ես այն տարիքում եմ, երբ, հավանաբար, մեզ շրջապատող աշխարհը դեռ հասկանալի չէ։ Միգուցե ես նրանց սովորեցնում եմ ձիերին կապել և զրահ անել, և ոչ թե մեքենա վարել: Միգուցե ես նրանց գրիչով գրել սովորեցնե՞մ։ Չնայած ես ավելի լավ կարծիք ունեմ մարդու մասին, ես ինձ համարում եմ «հետևող», բայց…
Մինչև վերջերս ավագ դպրոցում խոսում էին բարդ թվերի մասին։ Եվ հենց այս չորեքշաբթի օրը ես եկա տուն, դուրս եկա. ուսանողներից գրեթե ոչ ոք դեռ չի իմացել, թե ինչ է դա և ինչպես օգտագործել այս թվերը: Ոմանք բոլոր մաթեմատիկային նայում են ինչպես սագը ներկված դռան մոտ: Բայց ես նաև անկեղծորեն զարմացա, երբ ինձ ասացին, թե ինչպես սովորել: Պարզ ասած, դասախոսության յուրաքանչյուր ժամը երկու ժամ տնային աշխատանք է՝ դասագիրք կարդալ, սովորել, թե ինչպես լուծել տվյալ թեմայի վերաբերյալ խնդիրներ և այլն: Պատրաստվելով այս ձևով, մենք հասնում ենք վարժություններին, որտեղ մենք ամեն ինչ բարելավում ենք... Հաճելիորեն, ուսանողներին, ըստ երևույթին, կարծում էին, որ դասախոսությանը նստելը - ամենից հաճախ պատուհանից դուրս նայելը - արդեն երաշխավորում է գիտելիքի մուտքը գլխին:
Կանգ առեք Բավական է. Ես նկարագրելու եմ իմ պատասխանը մի հարցի, որը ստացել եմ Ազգային մանկական հիմնադրամի ընկերների հետ դասի ժամանակ, մի հաստատություն, որն աջակցում է տաղանդավոր երեխաներին ամբողջ երկրից: Հարցը (ավելի ճիշտ՝ առաջարկը) հետևյալն էր.
- Կարո՞ղ եք մեզ ինչ-որ բան ասել անիրական թվերի մասին:
-Իհարկե,-պատասխանեցի ես։
Թվերի իրականությունը
«Ընկերը մեկ այլ ես է, բարեկամությունը 220 և 284 թվերի հարաբերակցությունն է», - ասաց Պյութագորասը: Բանն այստեղ այն է, որ 220 թվի բաժանարարների գումարը հավասար է 284-ի, իսկ 284 թվի բաժանարարների գումարը հավասար է 220-ի.
1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220
1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Ի դեպ, նշենք, որ աստվածաշնչյան Հակոբը Եսավին տվել է 220 ոչխար և խոյ որպես բարեկամության նշան (Ծննդոց 32:14):
Մեկ այլ հետաքրքիր համընկնում 220 և 284 թվերի միջև հետևյալն է. ամենաբարձր պարզ թվերը տասնյոթն են՝ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, և 59.
Դրանց գումարը 2x220 է, իսկ քառակուսիների գումարը՝ 59x284։
Առաջին. «Իրական թիվ» հասկացություն չկա։ Կարծես փղերի մասին հոդված կարդալուց հետո հարցնես՝ «Հիմա մենք ոչ փղեր ենք խնդրելու»: Կան ամբողջական և ոչ ամբողջական, ռացիոնալ և իռացիոնալ, բայց չկան անիրական: Մասնավորապես. այն թվերը, որոնք իրական չեն, անվավեր չեն կոչվում: Մաթեմատիկայում «թվերի» բազմաթիվ տեսակներ կան, և դրանք նույնքան տարբեր են միմյանցից, որքան, եթե համեմատենք կենդանաբանական, փիղն ու երկրային որդը։
Երկրորդ՝ մենք կկատարենք գործողություններ, որոնք դուք արդեն գիտեք, որ արգելված են՝ դուրս բերել բացասական թվերի քառակուսի արմատները: Դե, մաթեմատիկան կհաղթահարի նման արգելքները։ Այնուամենայնիվ, դա իմաստ ունի՞: Մաթեմատիկայում, ինչպես ցանկացած այլ գիտության մեջ, տեսությունը հավերժ կմտնի գիտելիքի շտեմարան, կախված է ... դրա կիրառությունից: Եթե անպետք է, ուրեմն հայտնվում է աղբարկղում, հետո գիտելիքի պատմության ինչ-որ աղբի մեջ։ Առանց այն թվերի, որոնց մասին ես խոսում եմ այս հոդվածի վերջում, անհնար է զարգացնել մաթեմատիկան: Բայց եկեք սկսենք փոքր բաներից: Որոնք են իրական թվերը, դուք գիտեք: Թվային տողը լրացնում են խիտ և առանց բացերի։ Դուք նաև գիտեք, թե որոնք են բնական թվերը՝ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ……….. բոլորը չեն տեղավորվի: հիշողություն նույնիսկ ամենամեծը: Նրանք նաև գեղեցիկ անուն ունեն՝ բնական։ Նրանք այնքան շատ հետաքրքիր հատկություններ ունեն: Ինչպես եք հավանում սա.
1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218
12 + 152 + 422 + 982 + 1232 + 1792 + 2062 + 2202 = 32 + 112 + 462 + 922 + 1292 + 1752 + 2102 + 2182
13 + 153 + 423 + 983 + 1233 + 1793 + 2063 + 2203 = 33 + 113 + 463 + 923 + 1293 + 1753 + 2103 + 2183
14 + 154 + 424 + 984 + 1234 + 1794 + 2064 + 2204 = 34 + 114 + 464 + 924 + 1294 + 1754 + 2104 + 2184
15 + 155 + 425 + 985 + 1235 + 1795 + 2065 + 2205 = 35 + 115 + 465 + 925 + 1295 + 1755 + 2105 + 2185
16 + 156 + 426 + 983 + 1236 + 1796 + 2066 + 2206 = 36 + 116 + 466 + 926 + 1296 + 1756 + 2106 + 2186
17 + 157 + 427 + 983 + 1237 + 1797 + 2067 + 2207 = 37 + 117 + 467 + 927 + 1297 + 1757 + 2107 + 2187
«Բնական է, որ հետաքրքրված լինենք բնական թվերով», - ասաց Կարլ Լինդենհոլմը, և Լեոպոլդ Կրոնեկերը (1823–1891) հակիրճ ձևակերպեցին. «Աստված ստեղծել է բնական թվերը. մնացած ամեն ինչ մարդու գործն է»: Կոտորակները (մաթեմատիկոսները կոչվում են ռացիոնալ թվեր) նույնպես զարմանալի հատկություններ ունեն.
և հավասարության մեջ.
Դուք կարող եք, սկսած ձախ կողմից, քսել պլյուսները և դրանք փոխարինել բազմապատկման նշաններով, և հավասարությունը կմնա ճշմարիտ.
Եվ այսպես շարունակ:
Ինչպես հայտնի է, a/b կոտորակների համար, որտեղ a-ն և b-ն ամբողջ թվեր են, իսկ b ≠ 0, ասում են. ռացիոնալ թիվ. Բայց նրանք իրենց միայն լեհերեն են այդպես անվանում։ Նրանք խոսում են անգլերեն, ֆրանսերեն, գերմաներեն և ռուսերեն: ռացիոնալ թիվ. Անգլերեն՝ ռացիոնալ թվեր։ Իռացիոնալ թվեր Իռացիոնալ է, իռացիոնալ: Մենք նաև լեհերեն ենք խոսում իռացիոնալ տեսությունների, գաղափարների և գործերի մասին. սա խելագարություն է, երևակայական, անբացատրելի: Ասում են, որ կանայք վախենում են մկներից. որքանո՞վ է դա իռացիոնալ:
Հնում թվերը հոգի ունեին։ Յուրաքանչյուրը ինչ-որ բան էր նշանակում, յուրաքանչյուրը խորհրդանշում էր ինչ-որ բան, յուրաքանչյուրն արտացոլում էր Տիեզերքի այդ ներդաշնակության մի մասնիկը, այսինքն՝ հունարենում՝ Տիեզերքը: «Տիեզերք» բառն ինքնին նշանակում է «կարգ, կարգ»։ Ամենակարևորներն էին վեցը (կատարյալ թիվը) և տասը, 1+2+3+4 հաջորդական թվերի գումարը՝ կազմված այլ թվերից, որոնց սիմվոլիկան պահպանվել է մինչ օրս։ Այսպիսով, Պյութագորասը սովորեցրեց, որ թվերն ամեն ինչի սկիզբն ու աղբյուրն են, և միայն հայտնագործությունը իռացիոնալ թվեր Պյութագորասի շարժումը շրջեց դեպի երկրաչափություն: Դպրոցից գիտենք պատճառաբանությունը, որ
√2 - իռացիոնալ թիվ
Ենթադրենք, որ կա. և որ այս կոտորակը չի կարող կրճատվել: Մասնավորապես, և՛ p, և՛ q կենտ են: Եկեք այն քառակուսի դարձնենք՝ 2 ք2=p2. p թիվը չի կարող կենտ լինել, քանի որ p2 նույնը կլիներ, բայց հավասարության ձախ կողմում կա 2-ի բազմապատիկ: Սա նշանակում է, որ p զույգ է, այսինքն՝ p = 2r, ինչը նշանակում է p2= 4 տարի2. Կրճատենք 2q հավասարումը2= 4 տարի2 ըստ 2. Ստանում ենք q2= 2 տարի2 և մենք տեսնում ենք, որ q-ն նույնպես պետք է լինի զույգ, և մենք ենթադրեցինք, որ դա այդպես չէ: Ստացված հակասությունն ամբողջացնում է ապացույցը - այս բանաձեւը հաճախ կարելի է գտնել յուրաքանչյուր մաթեմատիկական գրքում: Այս անուղղակի ապացույցը սոփեստների սիրելի հնարքն է։
Այս անսահմանությունը պյութագորասցիները չէին կարող հասկանալ: Ամեն ինչ պետք է հնարավոր լինի նկարագրել թվերով, իսկ քառակուսու անկյունագիծը, որը ցանկացած մարդ կարող է գծել փայտով ավազի մեջ, չունի, այսինքն՝ չափելի, երկարություն։ «Մեր հավատքն իզուր էր», կարծես թե ասում են Պյութագորասը։ Ինչու այդպես? Դա մի տեսակ... իռացիոնալ է: Միությունը փորձեց իրեն փրկել աղանդավորական մեթոդներով։ Յուրաքանչյուր ոք, ով համարձակվում է բացահայտել իր գոյությունը իռացիոնալ թվեր, պետք է պատժվեր մահապատժով, եւ, ըստ երեւույթին, առաջին դատավճիռը կատարեց հենց ինքը՝ վարպետը։
Բայց «միտքն անվնաս անցավ»։ Եկել է ոսկե դարը. Հույները հաղթեցին պարսիկներին (Մարաթոն 490, Պլաչե 479)։ Ամրապնդվեց ժողովրդավարությունը, ի հայտ եկան փիլիսոփայական մտքի նոր կենտրոններ և նոր դպրոցներ։ Պյութագորասիզմի հետևորդները դեռևս պայքարում էին իռացիոնալ թվերի դեմ։ Ոմանք քարոզեցին. մենք չենք ըմբռնի այս առեղծվածը. մենք կարող ենք միայն մտածել դրա մասին և հիանալ Uncharted-ով: Վերջիններս ավելի պրագմատիկ էին և չէին հարգում Գաղտնիքը։ Այդ ժամանակ ի հայտ եկան երկու մտավոր կոնստրուկտներ, որոնք հնարավորություն տվեցին հասկանալ իռացիոնալ թվերը։ Այն, որ մենք այսօր դրանք բավականին լավ ենք հասկանում, պատկանում է Եվդոքսին (մ.թ.ա. XNUMX-րդ դար), և միայն XNUMX-րդ դարի վերջում գերմանացի մաթեմատիկոս Ռիչարդ Դեդեկինդը Եվդոքսուսի տեսությունը պատշաճ զարգացրեց՝ խիստ մաթեմատիկական տրամաբանության պահանջներին համապատասխան:
Շատ թվեր կամ խոշտանգումներ
Կարո՞ղ եք ապրել առանց թվերի: Անգամ եթե ինչ լիներ կյանքը... Մենք պետք է գնայինք խանութ՝ փայտով կոշիկներ գնելու, որոնք նախապես չափել էինք ոտքի երկարությունը։ «Ես խնձոր կուզեի, ախ, ահա՛»։ – շուկայում վաճառողներին ցույց կտայինք: «Որքա՞ն հեռավորությունը Մոդլինից դեպի Նովի Դվուր Մազովեցկի»: «Շատ մոտ»:
Չափելու համար օգտագործվում են թվեր: Նրանց օգնությամբ մենք նաև շատ այլ հասկացություններ ենք արտահայտում։ Օրինակ, քարտեզի մասշտաբը ցույց է տալիս, թե որքան է նվազել երկրի տարածքը: Երկու-մեկ սանդղակը կամ պարզապես 2-ն արտահայտում է այն փաստը, որ ինչ-որ բան կրկնապատկվել է: Մաթեմատիկորեն ասենք՝ յուրաքանչյուր միատարրություն համապատասխանում է մի թվի՝ նրա սանդղակի։
Առաջադրանք. Մենք քսերոգրաֆիկ պատճեն ենք արել՝ մի քանի անգամ մեծացնելով պատկերը։ Այնուհետև մեծացված բեկորը կրկին ավելացվել է b անգամ: Ո՞րն է ընդհանուր խոշորացման սանդղակը: Պատասխան՝ a × b բազմապատկած b-ով: Այս կշեռքները պետք է բազմապատկվեն։ Մինուս մեկ թիվը՝ -1, համապատասխանում է մեկ ճշգրտության, որը կենտրոնացած է, այսինքն՝ 180 աստիճանի պտույտ: Ո՞ր թվին է համապատասխանում 90 աստիճան պտույտը: Նման թիվ չկա։ Կա, կա... ավելի ճիշտ՝ շուտով կլինի։ Պատրա՞ստ եք հոգեկան խոշտանգումների։ Եղեք համարձակ և վերցրեք մինուս մեկ քառակուսի արմատը: Լսո՞ւմ եմ Ի՞նչ չես կարող անել։ Ի վերջո, ես քեզ ասացի, որ քաջ եղիր։ Դուրս քաշիր։ Հեյ, լավ, քաշիր, քաշիր... Ես կօգնեմ... Ահա. −1 Հիմա, երբ ունենք այն, եկեք փորձենք օգտագործել այն... Իհարկե, այժմ մենք կարող ենք վերցնել բոլոր բացասական թվերի արմատները, քանի որ օրինակ.:
√-4 = 2√-1, √16 - = 4√-1
«Անկախ նրանից, թե ինչ հոգեկան տառապանք է դա բերում»: Ահա թե ինչ է գրել Ժիրոլամո Կարդանոն 1539 թվականին՝ փորձելով հաղթահարել մտավոր դժվարությունները, որոնք կապված են, ինչպես այն շուտով կոչվեց. երևակայական մեծություններ. Նա այսպես էր մտածում...
...Առաջադրանք. 10-ը բաժանիր երկու մասի, որոնց արտադրյալը 40 է։ Հիշում եմ, որ նախորդ դրվագից նա գրել էր այսպիսի մի բան՝ Անշուշտ անհնար է։ Այնուամենայնիվ, եկեք այսպես անենք՝ 10-ը բաժանեք երկու հավասար մասերի, յուրաքանչյուրը հավասար է 5-ի։ Բազմապատկեք դրանք՝ ստացվեց 25։ Ստացված 25-ից հիմա հանեք 40, եթե ցանկանում եք, և կստանաք -15։ Հիմա նայեք. √-15-ը 5-ից ավելացված և հանելով տալիս է 40-ի արտադրյալը: Սրանք 5-√-15 և 5 + √-15 թվերն են: Արդյունքի ստուգումն իրականացվել է Կարդանոյի կողմից հետևյալ կերպ.
«Անկախ սրտի ցավից, 5 + √-15-ը բազմապատկեք 5-√-15-ով: Մենք ստանում ենք 25 - (-15), որը հավասար է 25 + 15-ի: Այսպիսով, արտադրյալը 40 .... Իսկապես դժվար է»:
Դե ինչքա՞ն է դա՝ (1 + √-1) (1-√-1): Եկեք բազմապատկենք. Հիշեք, որ √-1 × √-1 = -1: Հիանալի: Հիմա ավելի բարդ խնդիր՝ a + b√-1-ից մինչև ab√-1: Ինչ է պատահել? Իհարկե, այսպես՝ (a + b√-1) (ab√-1) = a2+b2
Ի՞նչն է այսքան հետաքրքիր: Օրինակ, այն փաստը, որ մենք կարող ենք գործոն դնել այնպիսի արտահայտություններ, որոնք «նախկինում չգիտեինք»։ Համառոտ բազմապատկման բանաձևը2-b2 Դուք հավանաբար հիշում եք բանաձևը2+b2 դա տեղի չունեցավ, քանի որ դա չէր կարող լինել: Իրական թվերի տիրույթում բազմանդամը2+b2 սա անխուսափելի է: «Մեր» քառակուսի արմատը նշենք «մինուս մեկ»-ի i տառով:2= -1. Սա «անիրական» պարզ թիվ է։ Եվ ահա թե ինչ է նկարագրում 90 աստիճանով պտտվող ինքնաթիռը։ Ինչո՞ւ։ Ամենից հետո,2= -1, իսկ մեկ 90 աստիճանի պտույտի և մեկ այլ 180 աստիճանի պտույտի համադրումը տալիս է 45 աստիճանի պտույտ։ Ի՞նչ տեսակի պտույտ է նկարագրվում: Ակնհայտորեն XNUMX աստիճանի շրջադարձ: Ի՞նչ է նշանակում -i: Մի փոքր ավելի բարդ է.
(-Ես)2 = -i × (-i) = + i2 = -1
Այսպիսով, -i-ն նաև նկարագրում է 90 աստիճանի պտույտ՝ i-ի պտույտի հակառակ ուղղությամբ: Ո՞ր մեկն է ձախ և ո՞րն է աջ: Դուք պետք է պայմանավորվեք: Մենք ենթադրում ենք, որ i թիվը սահմանում է պտույտ այն ուղղությամբ, որը մաթեմատիկոսները դրական են համարում. ժամսլաքի հակառակ ուղղությամբ: -i թիվը նկարագրում է պտույտը այն ուղղությամբ, որտեղ ցուցիչները շարժվում են:
Բայց կա՞ն i և -i թվեր: Են! Մենք նրանց ուղղակի կյանքի կոչեցինք։ Լսո՞ւմ եմ Որ դրանք միայն մեր գլխո՞ւմ են։ Դե ինչ սպասել: Մնացած բոլոր թվերը նույնպես գոյություն ունեն միայն մեր մտքում: Մենք պետք է տեսնենք, թե արդյոք մեր նորածինների թիվը կպահպանվի: Ավելի ճիշտ՝ դիզայնը տրամաբանակա՞ն է, և դրանք ինչ-որ բանի համար օգտակար կլինեն։ Խնդրում եմ ընդունեք իմ խոսքը, որ ամեն ինչ լավ է, և որ այս նոր թվերն իսկապես օգտակար են: 3+i, 5-7i նման թվերը ավելի ընդհանուր ձևով՝ a+bi կոչվում են բարդ թվեր։ Ես ձեզ ցույց տվեցի, թե ինչպես կարող եք դրանք ստանալ՝ պտտելով ինքնաթիռը: Դրանք կարող են մուտքագրվել տարբեր ձևերով՝ որպես հարթության կետեր, որպես որոշակի բազմանդամներ, որպես որոշակի թվային զանգվածներ... և ամեն անգամ դրանք նույնն են՝ x հավասարում2 +1=0 տարր չկա... հոկուս պոկուսն արդեն կա!!!! Եկեք ուրախանանք և ուրախանանք!!!
Շրջայցի ավարտ
Սա ավարտում է մեր առաջին շրջագայությունը կեղծ թվերի երկիր: Մյուս ոչ երկրային թվերից կնշեմ նաև նրանց, որոնք առջևում և ոչ ետևում ունեն անսահման թվանշաններ (դրանք կոչվում են 10-adic, մեզ համար p-adic-ն ավելի կարևոր է, որտեղ p-ն պարզ թիվ է), օրինակ X = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625
Խնդրում եմ, եկեք հաշվենք X2. Որովհետեւ? Իսկ եթե հաշվենք այն թվի քառակուսին, որն իր հետևում ունի անսահման թվով թվանշաններ: Դե, եկեք նույնը անենք: Պարզենք, որ X2 = X.
Գտնենք մեկ այլ նման թիվ՝ առջեւում անսահման թվով թվանշաններով, որը բավարարում է հավասարումը։ Հուշում. Վեցով վերջացող թվի քառակուսին նույնպես ավարտվում է վեցով: 76-ով վերջացող թվի քառակուսին նույնպես ավարտվում է 76-ով, 376-ով ավարտվող թվի քառակուսին նույնպես ավարտվում է 376-ով, 9376-ով ավարտվող թվի քառակուսին նույնպես ավարտվում է 9376-ով: Կան նաև թվեր, որոնք այնքան փոքր են, որ թեև դրական են, բայց մնացած դրական թվերից փոքր են մնում։ Նրանք այնքան փոքր են, որ երբեմն բավական է դրանք քառակուսի դնել՝ զրո ստանալու համար։ Կան թվեր, որոնք չեն բավարարում a × b = b × a պայմանը: Կան նաև անսահման թվեր։ Քանի՞ բնական թիվ կա: Անսահման շատ? Այո, բայց որքան: Ի՞նչ թվով կարող է սա արտահայտվել: Պատասխան՝ անվերջ թվերից ամենափոքրը; այն նշվում է գեղեցիկ տառով՝ Ա և լրացվում է զրոյական Ա ինդեքսով0 , ալեֆ-զրո.
Կան նաև թվեր, որոնց գոյության մասին մենք չգիտենք... կամ որոնց կարող ենք հավատալ կամ չհավատալ, ինչպես ցանկանում եք: Եվ եթե խոսենք դրա մասին. հուսով եմ, որ ձեզ դեռ դուր են գալիս անիրական թվերը, ֆանտաստիկ տեսակների համարները:
