Երկրաչափական ուղիներ և թավուտներ

Այս հոդվածը գրելիս հիշեցի Յան Պիետրզակի մի շատ հին երգ, որը նա երգել էր Լեհաստանի Ժողովրդական Հանրապետությունում որպես անվտանգության փական ճանաչված Pod Egidą կաբարեում իր երգիծական գործունեությունից առաջ. կարելի էր անկեղծորեն ծիծաղել համակարգի պարադոքսների վրա։ Այս երգում հեղինակը խորհուրդ է տվել սոցիալիստական ​​քաղաքական մասնակցություն ունենալ, ծաղրել նրանց, ովքեր ցանկանում են լինել ապաքաղաքական և անջատել ռադիոն թերթում։ «Ավելի լավ է վերադառնալ դպրոցական ընթերցանությանը», - հեգնանքով երգեց այն ժամանակ XNUMX-ամյա Պետշակը:

Ես վերադառնում եմ դպրոց կարդալու: Ես վերընթերցում եմ (ոչ առաջին անգամ) Շչեպան Ելենսկու (1881-1949) «Լիլավատի» գիրքը։ Քիչ ընթերցողների համար բառն ինքնին ինչ-որ բան ասում է. Սա հայտնի հինդու մաթեմատիկոսի, հայտնի Բհասկարա (1114-1185) մաթեմատիկոսի դստեր անունն է, որի անունը Ակարիա է, կամ այն ​​իմաստունի, ով իր գիրքը հանրահաշվի մասին վերնագրել է այդ անունով։ Հետագայում Լիլավատին ինքն էլ դարձավ հայտնի մաթեմատիկոս և փիլիսոփա: Այլ աղբյուրների համաձայն՝ հենց նա է գրել գիրքն ինքը։

Շչեպան Ելենսկին նույն վերնագիրն է տվել մաթեմատիկայի մասին իր գրքին (առաջին հրատարակություն, 1926 թ.)։ Գուցե նույնիսկ դժվար լինի այս գիրքը մաթեմատիկական աշխատանք անվանելը. այն ավելի շուտ հանելուկների հավաքածու էր և հիմնականում վերագրված էր ֆրանսիական աղբյուրներից (արդի իմաստով հեղինակային իրավունքներ գոյություն չունեին): Ամեն դեպքում, երկար տարիներ դա մաթեմատիկայի մասին լեհական միակ հայտնի գիրքն էր. ավելի ուշ դրան ավելացավ Ելենսկու երկրորդ գիրքը՝ Պյութագորասի քաղցրավենիքը։ Այսպիսով, մաթեմատիկայով հետաքրքրված երիտասարդները (ինչը ես էի նախկինում) ընտրելու ոչինչ չունեին…

մյուս կողմից, «Լիլավատին» պետք էր գրեթե անգիր իմանալ... Ահ, ժամանակներ կային... Նրանց ամենամեծ առավելությունն այն էր, որ ես այն ժամանակ... դեռահաս էի։ Այսօր, լավ կրթված մաթեմատիկոսի տեսանկյունից, ես Լիլավատին բոլորովին այլ կերպ եմ նայում՝ գուցե ինչպես լեռնագնացը Շպիգլասովա Պշելենչ տանող ճանապարհի ոլորաններում։ Ո՛չ մեկը, ո՛չ մյուսը չեն կորցնում իր հմայքը... Իր բնորոշ ոճով անձնական կյանքում այսպես կոչված ազգային գաղափարները դավանող Շչեպան Ելենսկին նախաբանում գրում է.

Չանդրադառնալով ազգային հատկանիշների նկարագրությանը, կասեմ, որ նույնիսկ իննսուն տարի անց Ելենսկու խոսքերը մաթեմատիկայի մասին չեն կորցրել իրենց արդիականությունը։ Մաթեմատիկան սովորեցնում է մտածել։ Դա փաստ է։ Կարո՞ղ ենք ձեզ սովորեցնել մտածել այլ կերպ, ավելի պարզ և ավելի գեղեցիկ: Միգուցե. Պարզապես... մենք դեռ չենք կարող: Ես բացատրում եմ իմ ուսանողներին, ովքեր չեն ցանկանում մաթեմատիկա անել, որ սա նաև նրանց ինտելեկտի ստուգում է: Եթե ​​դուք չեք կարող սովորել իսկապես պարզ մաթեմատիկայի տեսություն, ապա... միգուցե ձեր մտավոր ունակություններն ավելի վատն են, քան մենք երկուսս էլ կցանկանայինք...

Նշաններ ավազի մեջ

Եվ ահա «Լիլավատի»-ի առաջին պատմությունը՝ ֆրանսիացի փիլիսոփա Ժոզեֆ դե Մեյստրի (1753-1821) նկարագրած պատմությունը։

Խորտակված նավից մի նավաստի ալիքները նետեցին դատարկ ափ, որը նա համարում էր անմարդաբնակ։ Հանկարծ ափամերձ ավազի մեջ նա տեսավ ինչ-որ մեկի դիմաց գծված երկրաչափական կերպարի հետք։ Հենց այդ ժամանակ նա հասկացավ, որ կղզին ամայի չէ։

Մեջբերելով դե Մեստրիին՝ Ելենսկին գրում է. երկրաչափական գործիչդա համր արտահայտություն կլիներ դժբախտի, նավի խորտակվածի համար, պատահականություն, բայց նա մի հայացքով ցույց տվեց նրան համամասնությունն ու թիվը, և դա ավետեց մի լուսավոր մարդու: Այսքանը պատմության համար:

Նկատի ունեցեք, որ նավաստիը կառաջացնի նույն արձագանքը, օրինակ՝ նկարելով K տառը, ... և մարդու ներկայության ցանկացած այլ հետք: Այստեղ երկրաչափությունը իդեալականացված է։

Այնուամենայնիվ, աստղագետ Կամիլ Ֆլամարիոնը (1847-1925) առաջարկեց, որ քաղաքակրթությունները միմյանց ողջունում են հեռվից՝ օգտագործելով երկրաչափությունը։ Սրա մեջ նա տեսնում էր շփման միակ ճիշտ ու հնարավոր փորձը։ Այսպիսի մարսեցիներին ցույց տանք Պյութագորասի եռանկյունները... նրանք մեզ կպատասխանեն Թալեսով, մենք նրանց կպատասխանենք Վիետայի նախշերով, նրանց շրջանակը կտեղավորվի եռանկյունու մեջ, ուրեմն ընկերություն սկսվեց...

Այս գաղափարին վերադարձան այնպիսի գրողներ, ինչպիսիք են Ժյուլ Վեռնը և Ստանիսլավ Լեմը։ Իսկ 1972-ին Pioneer զոնդի վրա տեղադրվեցին երկրաչափական (և ոչ միայն) նախշերով սալիկներ, որը դեռ անցնում է տիեզերական տարածությունները, այժմ մեզանից գրեթե 140 աստղագիտական ​​միավոր (1 I-ը Երկրի միջին հեռավորությունն է Երկրից) . Արև, այսինքն՝ մոտ 149 միլիոն կմ): Սալիկը, մասամբ, նախագծվել է աստղագետ Ֆրենկ Դրեյքի կողմից, որը ստեղծեց վիճահարույց կանոնը այլմոլորակային քաղաքակրթությունների թվի վերաբերյալ:

Երկրաչափությունը զարմանալի է. Բոլորիս հայտնի է այս գիտության ծագման վերաբերյալ ընդհանուր տեսակետը։ Մենք (մենք մարդիկ) նոր ենք սկսել չափել հողը (հետագայում՝ հողը) ամենաօգտակար նպատակների համար։ Հեռավորությունները որոշելը, ուղիղ գծեր գծելը, ուղիղ անկյունները նշելն ու ծավալները հաշվելը աստիճանաբար անհրաժեշտություն դարձավ։ Այստեղից էլ ամբողջը երկրաչափություն («Երկրի չափումը»), հետևաբար բոլոր մաթեմատիկան ...

Այնուամենայնիվ, որոշ ժամանակ գիտության պատմության այս հստակ պատկերը մթագնում էր մեզ։ Քանի որ եթե մաթեմատիկան անհրաժեշտ լիներ միայն գործառնական նպատակներով, մենք չէինք զբաղվի պարզ թեորեմների ապացուցմամբ։ «Դուք տեսնում եք, որ դա ընդհանրապես պետք է ճիշտ լինի», - կասեր մեկը՝ ստուգելուց հետո, որ մի քանի ուղղանկյուն եռանկյուններում հիպոթենուսների քառակուսիների գումարը հավասար է հիպոթենուսի քառակուսուին։ Ինչու՞ նման ֆորմալիզմ:

Սալորով կարկանդակը պետք է համեղ լինի, համակարգչային ծրագիրը պետք է աշխատի, մեքենան պետք է աշխատի։ Եթե ​​ես երեսուն անգամ հաշվեցի տակառի հզորությունը, և ամեն ինչ կարգին է, ապա ինչո՞ւ ուրիշ։

Միևնույն ժամանակ, հին հույների մտքով անցավ, որ պետք է որոշ պաշտոնական ապացույցներ գտնել։

Այսպիսով, մաթեմատիկան սկսվում է Թալեսից (մ.թ.ա. 625-547 թթ.): Ենթադրվում է, որ հենց Միլետն է սկսել մտածել, թե ինչու։ Խելացի մարդկանց քիչ է, որ ինչ-որ բան տեսել են, ինչ-որ բանում համոզված են։ Նրանք տեսան ապացույցների անհրաժեշտություն, փաստարկների տրամաբանական հաջորդականություն՝ ենթադրությունից մինչև թեզ։

Նրանք նաև ավելին էին ուզում։ Հավանաբար, հենց Թալեսն է առաջինը փորձել բացատրել ֆիզիկական երևույթները նատուրալիստական ​​ձևով, առանց աստվածային միջամտության: Եվրոպական փիլիսոփայությունը սկսվել է բնության փիլիսոփայությունից՝ նրանից, ինչն արդեն ետևում է ֆիզիկայի (այստեղից էլ անվանումը՝ մետաֆիզիկա): Բայց եվրոպական գոյաբանության և բնափիլիսոփայության հիմքերը դրվել են պյութագորացիների կողմից (Պյութագորաս, մոտ 580-մ.թ.ա. մոտ 500 թթ.):

Նա հիմնեց իր սեփական դպրոցը Կրոտոնեում Ապենինյան թերակղզու հարավում, այսօր մենք այն կանվանեինք աղանդ: Գիտությունը (բառի ներկայիս իմաստով), միստիկան, կրոնը և ֆանտազիան սերտորեն փոխկապակցված են: Թոմաս Մանը շատ գեղեցիկ ներկայացրեց մաթեմատիկայի դասերը գերմանական գիմնազիայում «Դոկտոր Ֆաուստուս» վեպում։ Մարիա Կուրեցկայայի և Վիտոլդ Վիրպշայի թարգմանությամբ այս հատվածում ասվում է.

Չարլզ վան Դորենի «Գիտելիքի պատմությունը պատմության արշալույսից մինչև մեր օրերը» հետաքրքիր գրքում ես գտա մի շատ հետաքրքիր տեսակետ. Գլուխներից մեկում հեղինակը նկարագրում է Պյութագորասի դպրոցի նշանակությունը։ Գլխի հենց վերնագիրն ինձ ցնցեց. Այն գրված է. «Մաթեմատիկայի գյուտը. Պյութագորացիները»:

Մենք հաճախ քննարկում ենք, թե արդյոք մաթեմատիկական տեսություններ են հայտնաբերվում (օրինակ՝ անհայտ հողեր), թե հորինվում են (օրինակ՝ մեքենաներ, որոնք նախկինում գոյություն չեն ունեցել): Որոշ կրեատիվ մաթեմատիկոսներ իրենց տեսնում են որպես հետազոտող, մյուսները՝ որպես գյուտարար կամ դիզայներ, ավելի քիչ հաճախ՝ հակահարվածներ։

Բայց այս գրքի հեղինակը գրում է ընդհանրապես մաթեմատիկայի գյուտի մասին.

Չափազանցությունից մինչև մոլորություն

Այս երկար ներածական մասից հետո ես կանցնեմ հենց սկզբին։ երկրաչափություննկարագրել, թե ինչպես կարող է երկրաչափության վրա չափից շատ ապավինելը գիտնականին մոլորեցնել: Յոհաննես Կեպլերը ֆիզիկայի և աստղագիտության մեջ հայտնի է որպես երկնային մարմինների շարժման երեք օրենքների հայտնաբերող։ Նախ, Արեգակնային համակարգի յուրաքանչյուր մոլորակ շարժվում է Արեգակի շուրջը էլիպսաձեւ ուղեծրով, որտեղ արևը գտնվում է իր կիզակետերից մեկում: Երկրորդ, կանոնավոր ընդմիջումներով մոլորակի առաջատար ճառագայթը, որը վերցված է Արեգակից, քաշում է հավասար դաշտեր: Երրորդ, Արեգակի շուրջ մոլորակի պտտման ժամանակաշրջանի քառակուսու հարաբերակցությունը նրա ուղեծրի կիսամյակային հիմնական առանցքի խորանարդին (այսինքն՝ Արեգակից միջին հեռավորությունը) հաստատուն է Արեգակնային համակարգի բոլոր մոլորակների համար։

Թերևս սա երրորդ օրենքն էր. այն հաստատելու համար պահանջվում էր շատ տվյալներ և հաշվարկներ, ինչը դրդեց Կեպլերին շարունակել մոլորակների շարժման և դիրքի օրինաչափությունների որոնումը: Նրա նոր «հայտնագործության» պատմությունը շատ ուսանելի է։ Հնուց ի վեր մենք հիացել ենք ոչ միայն կանոնավոր պոլիեդրներով, այլև փաստարկներով, որոնք ցույց են տալիս, որ դրանք ընդամենը հինգն են տիեզերքում։ Եռաչափ բազմանկյունը կոչվում է կանոնավոր, եթե նրա դեմքերը նույնական կանոնավոր բազմանկյուններ են, և յուրաքանչյուր գագաթ ունի նույն թվով եզրեր: Պատկերավոր կերպով, կանոնավոր պոլիէդրոնի յուրաքանչյուր անկյուն պետք է «նույն տեսքը» ունենա։ Ամենահայտնի բազմանիստը խորանարդն է։ Բոլորը տեսել են սովորական կոճ։

Կանոնավոր քառաեդրոնը քիչ հայտնի է, իսկ դպրոցում այն ​​կոչվում է կանոնավոր եռանկյուն բուրգ։ Այն նման է բուրգի: Մնացած երեք կանոնավոր պոլիեդրաները քիչ հայտնի են։ Ութանիստ ձևավորվում է, երբ միացնում ենք խորանարդի եզրերի կենտրոնները։ Դոդեկաեդրոնն ու իկոսաեդրոնն արդեն գնդակների տեսք ունեն: Պատրաստված են փափուկ կաշվից, դրանք հարմար կլինի փորել: Պատճառաբանությունը, որ չկա այլ կանոնավոր բազմանիստ, բացի հինգ Պլատոնական պինդ մարմիններից, շատ լավ է: Նախ, մենք հասկանում ենք, որ եթե մարմինը կանոնավոր է, ապա նույնական կանոնավոր բազմանկյունների նույն թիվը (թող q) պետք է համընկնի յուրաքանչյուր գագաթի վրա, թող դրանք լինեն p-անկյուններ: Այժմ մենք պետք է հիշենք, թե որն է անկյունը կանոնավոր բազմանկյունում: Եթե ​​ինչ-որ մեկը չի հիշում դպրոցից, մենք ձեզ հիշեցնում ենք, թե ինչպես գտնել ճիշտ օրինակը: Մենք ճամփորդեցինք անկյունում: Յուրաքանչյուր գագաթին մենք շրջում ենք նույն անկյունով a. Երբ մենք շրջում ենք բազմանկյունը և վերադառնում ելակետ, մենք կատարել ենք p նման շրջադարձեր և ընդհանուր առմամբ շրջվել ենք 360 աստիճանով։

Բայց α-ն 180 աստիճանով լրացնում է այն անկյունը, որը մենք ցանկանում ենք հաշվարկել, և, հետևաբար, այն է

Մենք գտել ենք կանոնավոր բազմանկյան անկյան (մաթեմատիկոսը կասեր՝ անկյան չափումներ) բանաձևը։ Եկեք ստուգենք՝ p = 3 եռանկյունում չկա a

Սրա նման. Երբ p = 4 (քառակուսի), ապա

աստիճանները նույնպես լավ են:

Ի՞նչ ենք մենք ստանում հնգանկյունի համար: Այսպիսով, ինչ է տեղի ունենում, երբ կան q բազմանկյուններ, որոնցից յուրաքանչյուրը ունի նույն անկյունները

 աստիճաններ իջնո՞ւմ են մեկ գագաթով: Եթե ​​այն հարթության վրա լիներ, ապա անկյուն կառաջանար

աստիճաններ և չի կարող լինել ավելի քան 360 աստիճան, քանի որ այդ դեպքում բազմանկյունները համընկնում են:

Այնուամենայնիվ, քանի որ այս բազմանկյունները հանդիպում են տարածության մեջ, անկյունը պետք է փոքր լինի ամբողջ անկյունից:

Եվ ահա անհավասարությունը, որից այդ ամենը բխում է.

Բաժանի՛ր այն 180-ի, երկու մասերը բազմապատկի՛ր p-ով, կարգի՛ր (p-2) (q-2) < 4։ Ի՞նչ է հետևում։ Եկեք իմանանք, որ p-ն և q-ն պետք է լինեն բնական թվեր, և որ p > 2 (ինչու՞ և ինչ է p?), ինչպես նաև q > 2: Երկու բնական թվերի արտադրյալը 4-ից փոքր դարձնելու շատ եղանակներ չկան: դրանք բոլորը թվարկեմ աղյուսակ 1-ում:

Ես նկարներ չեմ տեղադրում, բոլորը կարող են տեսնել այս թվերը համացանցում... Համացանցում... Չեմ հրաժարվի լիրիկական շեղումից՝ երևի հետաքրքիր է երիտասարդ ընթերցողներին։ 1970 թվականին ես խոսեցի սեմինարի ժամանակ։ Թեման բարդ էր. Պատրաստվելու համար քիչ ժամանակ ունեի, երեկոյան նստում էի։ Հիմնական հոդվածը տեղում էր միայն կարդալու։ Տեղը հարմարավետ էր, աշխատանքային մթնոլորտով, լավ, ժամը յոթին փակվեց։ Հետո հարսնացուն (այժմ՝ կինս) ինքն առաջարկեց ինձ համար վերաշարադրել ամբողջ հոդվածը՝ մոտ մեկ տասնյակ տպագիր էջ։ Ես պատճենեցի այն (ոչ, ոչ գրիչով, մենք նույնիսկ գրիչներ ունեինք), դասախոսությունը հաջողվեց: Այսօր ես փորձեցի գտնել այս հրապարակումը, որն արդեն հին է։ Հիշում եմ միայն հեղինակի անունը... Համացանցում որոնումները երկար տեւեցին... լրիվ տասնհինգ րոպե։ Այդ մասին մտածում եմ քմծիծաղով ու մի քիչ չարդարացված ափսոսանքով։

Մենք վերադառնում ենք դեպի Կեպլեր և երկրաչափություն. Ըստ երևույթին, Պլատոնը կանխագուշակեց հինգերորդ կանոնավոր ձևի գոյությունը, քանի որ նրան պակասում էր միավորող մի բան, որն ընդգրկում էր ամբողջ աշխարհը: Թերևս դրա համար էլ նա հանձնարարեց մի ուսանողուհու (Թեայտետին) փնտրել նրան։ Ինչպես եղավ, այնպես էլ եղավ, որի հիման վրա էլ հայտնաբերվեց տասներկուանիստը։ Պլատոնի այս վերաբերմունքը մենք անվանում ենք պանթեիզմ։ Բոլոր գիտնականները, մինչև Նյուտոնը, այս կամ այն ​​չափով ենթարկվեցին դրան: Խիստ ռացիոնալ տասնութերորդ դարից ի վեր, նրա ազդեցությունը կտրուկ նվազել է, թեև մենք չպետք է ամաչենք այն փաստից, որ մենք բոլորս այս կամ այն ​​կերպ ենթարկվում ենք դրան:

Արեգակնային համակարգի կառուցման Կեպլերի հայեցակարգում ամեն ինչ ճիշտ էր, փորձարարական տվյալները համընկնում էին տեսության հետ, տեսությունը տրամաբանորեն համահունչ էր, շատ գեղեցիկ... բայց ամբողջովին կեղծ: Նրա ժամանակներում հայտնի էին միայն վեց մոլորակներ՝ Մերկուրին, Վեներան, Երկիրը, Մարսը, Յուպիտերը և Սատուրնը։ Ինչու՞ կան միայն վեց մոլորակներ: Կեպլերը հարցրեց. Իսկ ի՞նչ օրինաչափությամբ է պայմանավորված նրանց հեռավորությունը Արեգակից։ Նա ենթադրում էր, որ ամեն ինչ կապված է, որ երկրաչափություն և տիեզերագիտություն սերտորեն կապված են միմյանց հետ. Հին հույների գրվածքներից նա գիտեր, որ կան ընդամենը հինգ կանոնավոր պոլիեդրաներ։ Նա տեսավ, որ վեց ուղեծրերի միջև կա հինգ դատարկություն: Այսպիսով, միգուցե այս ազատ տարածություններից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է ինչ-որ կանոնավոր բազմանիստին:

Մի քանի տարվա դիտարկման և տեսական աշխատանքից հետո նա ստեղծեց հետևյալ տեսությունը, որի օգնությամբ բավականին ճշգրիտ հաշվարկեց ուղեծրերի չափերը, որոնք նա ներկայացրել է 1596 թվականին հրատարակված «Mysterium Cosmographicum» գրքում. որի տրամագիծը Մերկուրիի ուղեծրի տրամագիծն է Արեգակի շուրջ նրա տարեկան շարժման մեջ։ Ապա պատկերացրեք, որ այս ոլորտի վրա կա կանոնավոր ութանիստ, վրան՝ գնդիկ, վրան՝ սրբապատկեր, վրան նորից գունդ, վրան տասներկուանիստ, վրան մեկ այլ գունդ, վրան քառաեդրոն, հետո նորից գունդ, խորանարդ։ և, վերջապես, այս խորանարդի վրա նկարագրված է գնդակը:

Կեպլերը եզրակացրեց, որ այս հաջորդական գնդերի տրամագիծը հավասար է այլ մոլորակների՝ Մերկուրիի, Վեներայի, Երկրի, Մարսի, Յուպիտերի և Սատուրնի ուղեծրի տրամագծին։ Տեսությունը կարծես թե շատ ճշգրիտ էր։ Ցավոք, դա համընկավ փորձարարական տվյալների հետ։ Իսկ մաթեմատիկական տեսության ճշտության ի՞նչ ավելի լավ ապացույց, քան դրա համապատասխանությունը փորձարարական տվյալներին կամ դիտողական տվյալներին, հատկապես «երկնքից վերցված»: Ես ամփոփում եմ այս հաշվարկները Աղյուսակ 2-ում: Այսպիսով, ի՞նչ արեց Կեպլերը: Փորձեցի ու փորձեցի, մինչև ստացվեց, այսինքն՝ երբ կոնֆիգուրացիան (գնդերի կարգը) և ստացված հաշվարկները համընկան դիտողական տվյալների հետ։ Ահա ժամանակակից Kepler թվերն ու հաշվարկները.

Կարելի է ենթարկվել տեսության հմայքին և հավատալ, որ երկնքում չափումները սխալ են, և ոչ թե արհեստանոցի լռության մեջ կատարված հաշվարկները։ Ցավոք, այսօր մենք գիտենք, որ կան առնվազն ինը մոլորակներ, և որ արդյունքների բոլոր համընկնումները պարզապես պատահականություն են: Ափսոս։ Այնքան գեղեցիկ էր...