հակադարձ հմայքը
Շատ է խոսվում «հակադրությունների հմայքի» մասին, և ոչ միայն մաթեմատիկայում։ Հիշեք, որ հակադիր թվերը նրանք են, որոնք տարբերվում են միայն նշանով` գումարած 7 և մինուս 7: Հակառակ թվերի գումարը զրո է: Բայց մեզ (այսինքն՝ մաթեմատիկոսների) համար փոխադարձներն ավելի հետաքրքիր են։ Եթե թվերի արտադրյալը հավասար է 1-ի, ապա այդ թվերը հակադարձ են միմյանց: Յուրաքանչյուր թիվ ունի իր հակադիրը, յուրաքանչյուր ոչ զրոյական թիվ ունի իր հակադարձը: Փոխադարձի փոխադարձը սերմն է։
Ինվերսիա տեղի է ունենում ամենուր, որտեղ երկու մեծություններ կապված են միմյանց հետ, այնպես որ, եթե մեկը մեծանում է, մյուսը նվազում է համապատասխան արագությամբ: «Համապատասխան» նշանակում է, որ այդ քանակությունների արտադրյալը չի փոխվում։ Մենք հիշում ենք դպրոցից. սա հակադարձ համամասնություն է: Եթե ես ուզում եմ հասնել իմ նպատակակետին երկու անգամ ավելի արագ (այսինքն՝ կրճատել ժամանակը կիսով չափ), ես պետք է կրկնապատկեմ իմ արագությունը: Եթե գազով կնքված նավի ծավալը կրճատվի n անգամ, ապա նրա ճնշումը կմեծանա n անգամ։
Տարրական կրթության մեջ մենք զգուշորեն տարբերում ենք դիֆերենցիալ և հարաբերական համեմատությունները: «Որքա՞ն ավելի»: -Քանի՞ անգամ ավել:
Ահա մի քանի դպրոցական գործունեություն.
Առաջադրանք 1: Երկու դրական արժեքներից առաջինը 5 անգամ մեծ է երկրորդից և միևնույն ժամանակ 5 անգամ մեծ է առաջինից: Որո՞նք են չափերը:
Առաջադրանք 2: Եթե մի թիվը 3-ով մեծ է երկրորդից, իսկ երկրորդը 2-ով մեծ է երրորդից, ապա որքանո՞վ է մեծ առաջին թիվը երրորդից: Եթե առաջին դրական թիվը կրկնակի է երկրորդից, իսկ առաջինը եռապատկվում է երրորդից, քանի՞ անգամ է մեծ առաջին թիվը երրորդից:
Առաջադրանք 3: Առաջադրանք 2-ում թույլատրվում են միայն բնական թվեր: Հնարավո՞ր է այնտեղ նկարագրված այնպիսի պայմանավորվածություն:
Առաջադրանք 4: Երկու դրական արժեքներից առաջինը 5 անգամ երկրորդն է, իսկ երկրորդը 5 անգամ առաջինն է։ Դա հնարավոր է?
«միջին» կամ «միջին» հասկացությունը շատ պարզ է թվում: Եթե երկուշաբթի օրը ես հեծանվով վազեցի 55 կմ, երեքշաբթի 45 կմ և չորեքշաբթի 80 կմ, ապա միջինը օրական 60 կմ եմ քշել: Մենք ամբողջ սրտով համաձայն ենք այս հաշվարկների հետ, չնայած դրանք մի փոքր տարօրինակ են, քանի որ ես մեկ օրում 60 կմ չեմ վարել։ Մենք նույնքան հեշտությամբ ենք ընդունում մարդու բաժնետոմսերը. եթե վեց օրվա ընթացքում երկու հարյուր մարդ այցելում է ռեստորան, ապա միջին օրական դրույքաչափը կազմում է 33 և երրորդ մարդ։ Հմ!
Խնդիրներ կան միայն միջին չափի հետ կապված։ Ես սիրում եմ հեծանիվ վարել։ Այսպիսով, ես օգտվեցի «Let's go us with» տուրիստական գործակալության առաջարկից՝ նրանք ուղեբեռը հասցնում են հյուրանոց, որտեղ հաճախորդը հեծանիվ է վարում հանգստի նպատակով։ Ուրբաթ օրը ես քշեցի չորս ժամ՝ առաջին երկուսը ժամում 24 կմ արագությամբ։ Հետո ես այնքան հոգնեցի, որ հաջորդ երկուսի համար ժամում ընդամենը 16 արագությամբ: Որքա՞ն էր իմ միջին արագությունը: Իհարկե (24+16)/2=20կմ=20կմ/ժ։
Շաբաթ օրը, սակայն, ուղեբեռը մնացել էր հյուրանոցում, և ես գնացի տեսնելու 24 կմ հեռավորության վրա գտնվող ամրոցի ավերակները և տեսնելով դրանք՝ վերադարձա։ Մեկ ժամ քշեցի մի ուղղությամբ, հետ վերադարձա ավելի դանդաղ՝ ժամում 16 կմ արագությամբ։ Որքա՞ն էր իմ միջին արագությունը հյուրանոց-ամրոց-հյուրանոց երթուղում: Ժամում 20 կմ. Իհարկե ոչ. Ի վերջո, ես քշեցի ընդհանուր 48 կմ, և ինձնից մեկ ժամ («այնտեղ») և մեկուկես ժամ հետ գնաց: 48 կմ երկուսուկես ժամում, այսինքն. ժամ 48/2,5=192/10=19,2 կմ! Այս իրավիճակում միջին արագությունը ոչ թե միջին թվաբանականն է, այլ տրված արժեքների ներդաշնակությունը.
և այս երկհարկանի բանաձևը կարելի է կարդալ հետևյալ կերպ՝ դրական թվերի ներդաշնակ միջինը նրանց փոխադարձ միջին թվաբանականի փոխադարձն է։ Փոխադարձների գումարի փոխադարձությունը հայտնվում է դպրոցական առաջադրանքների բազմաթիվ խմբերգերում՝ եթե մի աշխատողը ժամ է փորում, մյուսը՝ բ ժամ, ապա միասին աշխատելով՝ փորում են ժամանակին։ ջրային լողավազան (մեկը ժամում, մյուսը՝ b ժամում): Եթե մի ռեզիստորն ունի R1, իսկ մյուսը՝ R2, ապա դրանք ունեն զուգահեռ դիմադրություն:
Եթե մի համակարգիչը կարող է մի խնդիր լուծել վայրկյանների ընթացքում, մյուսը՝ b վայրկյանում, ապա երբ նրանք միասին աշխատեն...
Կանգ առեք Հենց այստեղ էլ ավարտվում է անալոգիան, քանի որ ամեն ինչ կախված է ցանցի արագությունից՝ կապերի արդյունավետությունից։ Աշխատողները կարող են նաև խանգարել կամ օգնել միմյանց։ Եթե մեկ մարդ կարող է ջրհոր փորել ութ ժամում, ութսուն աշխատող կարո՞ղ է դա անել ժամի 1/10-ում (կամ 6 րոպեում): Եթե վեց բեռնակիր դաշնամուրը հասցնի առաջին հարկ 6 րոպեում, ապա որքա՞ն ժամանակ կպահանջվի նրանցից մեկին դաշնամուրը վաթսուներորդ հարկ հասցնելու համար: Նման խնդիրների անհեթեթությունը հիշեցնում է բոլոր մաթեմատիկայի սահմանափակ կիրառելիությունը «կյանքից» խնդիրներին։
Հարգելի վաճառող
Կշեռքներն այլևս չեն օգտագործվում։ Հիշենք, որ նման կշեռքի մի ամանի վրա դրվում էր կշիռ, իսկ մյուսի վրա դրվում էին կշռվող ապրանքները, և երբ քաշը գտնվում էր հավասարակշռության մեջ, այդ դեպքում ապրանքները կշռում էին այնքան, որքան քաշը: Իհարկե, ծանրաբեռնվածության երկու թեւերը պետք է լինեն նույն երկարությունը, հակառակ դեպքում կշռումը սխալ կլինի:
ՕՀ ճիշտ է. Պատկերացրեք վաճառողին, ով ունի անհավասար լծակ ունեցող կշիռ: Այնուամենայնիվ, նա ցանկանում է ազնիվ լինել հաճախորդների հետ և ապրանքը կշռում է երկու խմբաքանակով։ Նախ, նա մի թավայի վրա ծանրություն է դնում, իսկ մյուսի վրա՝ համապատասխան քանակությամբ ապրանք, որպեսզի կշեռքը հավասարակշռության մեջ լինի։ Հետո ապրանքի երկրորդ «կեսը» կշռում է հակառակ հերթականությամբ, այսինքն՝ քաշը դնում է երկրորդ ամանի վրա, իսկ ապրանքը՝ առաջինին։ Քանի որ ձեռքերն անհավասար են, «կեսերը» երբեք հավասար չեն։ Իսկ վաճառողի խիղճը հանգիստ է, և գնորդները գովում են նրա ազնվությունը. «Այն, ինչ ես այստեղ հանեցի, հետո ավելացրեցի»։
Այնուամենայնիվ, եկեք ավելի սերտ նայենք վաճառողի վարքագծին, ով ցանկանում է ազնիվ լինել, չնայած անկայուն քաշին: Թող հաշվեկշռի թեւերը ունենան a և b երկարություններ: Եթե ամաններից մեկը բեռնված է կիլոգրամ քաշով, իսկ մյուսը` x ապրանքով, ապա կշեռքը հավասարակշռության մեջ է, եթե առաջին անգամ ax = b, իսկ երկրորդ անգամ bx = a: Այսպիսով, ապրանքի առաջին մասը հավասար է b/a կիլոգրամի, երկրորդ մասը՝ a/b: Լավ քաշը ունի a = b, ուստի գնորդը կստանա 2 կգ ապրանք: Տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում, երբ a ≠ b. Այնուհետև a – b ≠ 0 և կրճատված բազմապատկման բանաձևից ունենք
Հասանք անսպասելի արդյունքի՝ չափման «միջինացման» թվացյալ արդար մեթոդն այս դեպքում աշխատում է ի շահ գնորդի, ով ավելի շատ ապրանք է ստանում։
Առաջադրանք 5. (Կարևոր է, ոչ մի կերպ մաթեմատիկայի մեջ): Մոծակը կշռում է 2,5 միլիգրամ, իսկ փիղը՝ հինգ տոննա (սա բավականին ճիշտ տվյալներ են)։ Հաշվե՛ք մոծակների և փղերի զանգվածների միջին թվաբանականը, երկրաչափական միջինը և ներդաշնակությունը (կշիռները): Ստուգեք հաշվարկները և տեսեք, թե արդյոք դրանք որևէ իմաստ ունեն, բացի թվաբանական վարժություններից: Դիտարկենք մաթեմատիկական հաշվարկների այլ օրինակներ, որոնք իմաստ չունեն «իրական կյանքում»: Հուշում. Այս հոդվածում մենք արդեն դիտարկել ենք մեկ օրինակ: Արդյո՞ք սա նշանակում է, որ մի անանուն ուսանող, ում կարծիքը ես գտա ինտերնետում, ճիշտ էր. «Մաթեմատիկան հիմարացնում է մարդկանց թվերով»:
Այո, ես համաձայն եմ, որ մաթեմատիկայի վեհության մեջ կարելի է «խաբել» մարդկանց. շամպունի յուրաքանչյուր երկրորդ գովազդում ասվում է, որ այն որոշ տոկոսով ավելացնում է փափկությունը: Փնտրե՞նք առօրյա օգտակար գործիքների այլ օրինակներ, որոնք կարող են օգտագործվել հանցավոր գործունեության համար:
Գրամ!
Այս հատվածի վերնագիրը բայ է (առաջին դեմք հոգնակի) ոչ թե գոյական (անվանական հոգնակի՝ հազարերորդական կիլոգրամի)։ Հարմոնիան ենթադրում է կարգ ու երաժշտություն։ Հին հույների համար երաժշտությունը գիտության ճյուղ էր. պետք է խոստովանել, որ եթե այդպես ասենք, «գիտություն» բառի ներկայիս իմաստը տեղափոխում ենք մեր դարաշրջանին նախորդող ժամանակաշրջան: Պյութագորասը ապրել է մ.թ.ա XNUMX-րդ դարում: Նա ոչ միայն չգիտեր համակարգիչը, բջջային հեռախոսը և էլեկտրոնային փոստը, այլև չգիտեր, թե ովքեր են Ռոբերտ Լևանդովսկին, Միեշկո I-ը, Կարլոս Մեծը և Ցիցերոնը: Նա չգիտեր ոչ արաբական, ոչ նույնիսկ հռոմեական թվեր (դրանք գործածության մեջ են մտել մոտավորապես մ.թ.ա. XNUMX-րդ դարում), նա չգիտեր, թե ինչ են Պունիկյան պատերազմները ... Բայց նա գիտեր երաժշտություն ...
Նա գիտեր, որ լարային գործիքների վրա թրթռման գործակիցները հակադարձ համեմատական են լարերի թրթռացող մասերի երկարությանը։ Նա գիտեր, գիտեր, պարզապես չէր կարող դա արտահայտել այնպես, ինչպես մենք ենք անում այսօր:
Օկտավան կազմող երկու լարային թրթռումների հաճախականությունները 1:2 հարաբերակցությամբ են, այսինքն՝ ավելի բարձր նոտայի հաճախականությունը երկու անգամ ավելի է, քան ստորինի հաճախականությունը։ Հինգերորդի թրթռումների ճիշտ հարաբերակցությունը 2:3 է, չորրորդը 3:4 է, մաքուր մաժոր երրորդը 4:5 է, փոքր երրորդը 5:6 է: Սրանք հաճելի բաղաձայն միջակայքեր են։ Այնուհետև կան երկու չեզոքներ՝ 6:7 և 7:8 թրթռումների հարաբերակցությամբ, ապա դիսոնանտները՝ մեծ տոնով (8:9), փոքր տոնով (9:10): Այս կոտորակները (հարաբերությունները) նման են հաջորդականության հաջորդական անդամների հարաբերություններին, որոնք մաթեմատիկոսները (հենց այս պատճառով) անվանում են ներդաշնակ շարք.
տեսականորեն անսահման գումար է։ Օկտավայի տատանումների հարաբերակցությունը կարելի է գրել 2:4 և նրանց միջև դնել հինգերորդը՝ 2:3:4, այսինքն՝ օկտավանը կբաժանենք հինգերորդի և չորրորդի։ Սա մաթեմատիկայի մեջ կոչվում է ներդաշնակ հատվածի բաժանում.
Բրինձ. 1. Երաժիշտի համար՝ AB օկտավայի բաժանում հինգերորդ AC-ի:Մաթեմատիկոսի համար՝ Հարմոնիկ սեգմենտացիա
Ի՞նչ նկատի ունեմ, երբ խոսում եմ (վերևում) տեսականորեն անսահման գումարի մասին, ինչպիսին է հարմոնիկ շարքը: Ստացվում է, որ նման գումար կարող է լինել ցանկացած մեծ թիվ, գլխավորն այն է, որ մենք երկար ժամանակ ավելացնում ենք։ Բաղադրիչներն ավելի ու ավելի քիչ են, բայց դրանք ավելի ու ավելի շատ են: Ի՞նչն է գերակշռում: Այստեղ մենք մտնում ենք մաթեմատիկական վերլուծության ոլորտ: Պարզվում է, որ բաղադրիչները սպառվում են, բայց ոչ շատ արագ։ Ես ցույց կտամ, որ բավականաչափ բաղադրիչներ վերցնելով՝ կարող եմ ամփոփել.
կամայականորեն մեծ: Վերցնենք «օրինակ» n = 1024: Եկեք խմբավորենք բառերը, ինչպես ցույց է տրված նկարում.
Յուրաքանչյուր փակագծում յուրաքանչյուր բառ մեծ է նախորդից, բացի, իհարկե, վերջինից, որը հավասար է իրեն։ Հետևյալ փակագծերում մենք ունենք 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 և 512 բաղադրիչներ. Յուրաքանչյուր փակագծում տրված գումարի արժեքը ½-ից մեծ է: Այս ամենը 5½-ից ավելի է։ Ավելի ճշգրիտ հաշվարկները ցույց կտան, որ այդ գումարը կազմում է մոտավորապես 7,50918: Ոչ շատ, բայց միշտ, և դուք կարող եք տեսնել, որ հաշվի առնելով n-ը ցանկացած մեծ, ես կարող եմ գերազանցել ցանկացած թվին: Այս մեկն աներևակայելի դանդաղ է (օրինակ, մենք տասնյակում ենք միայն բաղադրիչներով), բայց անսահման աճը միշտ գրավել է մաթեմատիկոսներին:
Ճանապարհորդություն դեպի անսահմանություն հարմոնիկ շարքով
Ահա մի հանելուկ բավականին լուրջ մաթեմատիկայի համար: Մենք ունենք ուղղանկյուն բլոկների անսահմանափակ մատակարարում (ինչ կարող եմ ասել, ուղղանկյուն!) չափսերով, ասենք, 4 × 2 × 1: Դիտարկենք մի քանի համակարգից բաղկացած համակարգը (ին. թզ. 2 - չորս) բլոկներ, դասավորված այնպես, որ առաջինը թեքված լինի իր երկարության ½-ով, երկրորդը վերևից ¼-ով և այլն, երրորդը մեկ վեցերորդով: Դե, միգուցե այն իսկապես կայուն դարձնելու համար եկեք մի փոքր ավելի քիչ թեքենք առաջին աղյուսը: Հաշվարկների համար դա նշանակություն չունի։
Բրինձ. 2. Ծանրության կենտրոնի որոշում
Հեշտ է նաև հասկանալ, որ քանի որ առաջին երկու բլոկներից կազմված գործիչը (վերևից հաշված) ունի համաչափության կենտրոն B կետում, ապա B-ն ծանրության կենտրոնն է։ Եկեք երկրաչափորեն սահմանենք համակարգի ծանրության կենտրոնը՝ կազմված երեք վերին բլոկներից։ Այստեղ բավական է մի շատ պարզ փաստարկ. Եկեք մտովի բաժանենք երեք բլոկային կազմը երկու վերևի և երրորդի ստորինի: Այս կենտրոնը պետք է ընկած լինի երկու մասի ծանրության կենտրոնները միացնող հատվածի վրա։ Այս դրվագի ո՞ր կետում:
Նշանակելու երկու եղանակ կա. Առաջինում մենք կօգտագործենք այն դիտարկումը, որ այս կենտրոնը պետք է ընկած լինի եռաբլոկ բուրգի մեջտեղում, այսինքն՝ ուղիղ գծի վրա, որը հատում է երկրորդ, միջին բլոկը: Երկրորդ ձևով մենք հասկանում ենք, որ քանի որ երկու վերին բլոկների ընդհանուր զանգվածը երկու անգամ գերազանցում է #3 (վերևում) մեկ բլոկի զանգվածը, այս հատվածի ծանրության կենտրոնը պետք է երկու անգամ ավելի մոտ լինի B-ին, քան կենտրոնին: Երրորդ բլոկի Ս. Նմանապես, մենք գտնում ենք հաջորդ կետը. մենք միացնում ենք երեք բլոկների հայտնաբերված կենտրոնը չորրորդ բլոկի S կենտրոնի հետ: Ամբողջ համակարգի կենտրոնը գտնվում է 2 բարձրության վրա և այն կետում, որը բաժանում է հատվածը 1-ից 3-ով (այսինքն՝ նրա երկարության ¾-ով):
Հաշվարկները, որոնք մենք կիրականացնենք մի փոքր ավելի, հանգեցնում են Նկ. նկ. 3. Ստորին բլոկի աջ եզրից հաջորդական ծանրության կենտրոնները հեռացվում են հետևյալով.
Այսպիսով, բուրգի ծանրության կենտրոնի պրոյեկցիան միշտ գտնվում է հիմքի ներսում։ Աշտարակը չի տապալվի. Հիմա եկեք նայենք թզ. 3 և մի պահ վերևից հինգերորդ բլոկը օգտագործենք որպես հիմք (ավելի վառ գույնով նշվածը): Վերև հակված.
Այսպիսով, նրա ձախ եզրը 1-ով հեռու է հիմքի աջ եզրից: Ահա հաջորդ ճոճանակը.
Ո՞րն է ամենամեծ ճոճանակը: Մենք արդեն գիտենք! Չկա մեծագույն! Վերցնելով նույնիսկ ամենափոքր բլոկները, դուք կարող եք ստանալ մեկ կիլոմետր հեռավորություն, ցավոք, միայն մաթեմատիկորեն. ամբողջ Երկիրը բավարար չի լինի այդքան շատ բլոկներ կառուցելու համար:
Բրինձ. 3. Ավելացրեք ավելի շատ բլոկներ
Այժմ այն հաշվարկները, որոնք մենք թողեցինք վերևում: Մենք կհաշվարկենք բոլոր հեռավորությունները «հորիզոնական» x առանցքի վրա, քանի որ դա այն ամենն է, ինչ կա: Ա կետը (առաջին բլոկի ծանրության կենտրոնը) աջ եզրից 1/2 է: B կետը (երկու բլոկների համակարգի կենտրոնը) գտնվում է երկրորդ բլոկի աջ եզրից 1/4 հեռավորության վրա: Թող մեկնարկային կետը լինի երկրորդ բլոկի վերջը (այժմ մենք կանցնենք երրորդին): Օրինակ, որտե՞ղ է գտնվում թիվ 3 մեկ բլոկի ծանրության կենտրոնը: Այս բլոկի երկարության կեսը, հետևաբար, մեր հղման կետից 1/2 + 1/4 = 3/4 է: Որտեղ է C կետը: 3/4-ի և 1/4-ի միջև ընկած հատվածի երկու երրորդում, այսինքն՝ նախորդ կետում, մենք փոխում ենք հղման կետը երրորդ բլոկի աջ եզրին: Երեք բլոկային համակարգի ծանրության կենտրոնն այժմ հանված է նոր հղման կետից և այլն: Ծանրության կենտրոն Գn n բլոկից կազմված աշտարակը գտնվում է 1/2n հեռավորության վրա ակնթարթային հղման կետից, որը բազային բլոկի աջ եզրն է, այսինքն՝ վերևից n-րդ բլոկը:
Քանի որ փոխադարձների շարքը տարբերվում է, մենք կարող ենք ստանալ ցանկացած մեծ տատանումներ: Կարո՞ղ է սա իրականում իրականացվել: Դա նման է անծայրածիր աղյուսե աշտարակի. վաղ թե ուշ այն կփլվի իր ծանրության տակ: Մեր սխեմայում բլոկի տեղադրման նվազագույն անճշտությունները (և շարքի մասնակի գումարների դանդաղ աճը) նշանակում է, որ մենք շատ հեռու չենք գնա:
