Ինչու՞ չենք բաժանում զրոյի:

Ընթերցողները կարող են զարմանալ, թե ինչու եմ ես մի ամբողջ հոդված նվիրում նման աննշան խնդրին: Պատճառը կոչված օպերացիան անզգուշորեն իրականացնող ուսանողների ապշեցուցիչ թիվն է։ Եվ ոչ միայն ուսանողները: Երբեմն ուսուցիչներին էլ եմ բռնում։ Ի՞նչ կարող են անել նման ուսուցիչների աշակերտները մաթեմատիկայից: Այս տեքստը գրելու անմիջական պատճառը զրույցն էր ուսուցչի հետ, ում համար զրոյի բաժանումը խնդիր չէր...

Զրոյով, այո, ոչինչ, բացի դժվարություններից, քանի որ մենք իրականում կարիք չունենք այն օգտագործելու առօրյա կյանքում: Մենք խանութ չենք գնում զրոյական ձվի համար: «Սենյակում մեկ մարդ կա» ինչ-որ տեղ բնական է հնչում, բայց «զրո մարդ» հնչում է արհեստական: Լեզվաբաններն ասում են, որ զրոն լեզվական համակարգից դուրս է։

Մենք կարող ենք անել առանց զրոյի նաև բանկային հաշիվներում. պարզապես օգտագործեք, ինչպես ջերմաչափի վրա, կարմիր և կապույտը դրական և բացասական արժեքների համար (նկատի ունեցեք, որ ջերմաստիճանի համար բնական է օգտագործել կարմիրը դրական թվերի համար, իսկ բանկային հաշիվների համար այն հակառակն է, քանի որ դեբետը պետք է նախազգուշացում առաջացնի, ուստի կարմիրը խիստ խորհուրդ է տրվում):

Զրոն որպես բնական թիվ ներառելով՝ անդրադառնում ենք տարբերակման խնդրին Կարդինալ թվեր od տնային տնտեսություն. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,…

թվի հզորությունը համընկնում է այն վայրի թվի հետ, որի վրա այն կանգնած է։ Հակառակ դեպքում այն ​​արդեն գտնվում է 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,…. հաջորդականության մեջ:

Երկրորդ տեղում է սինգլտոնների քանակը, երրորդում՝ երկու տարրերով հավաքածուների թիվը և այլն։ Պետք է բացատրել, թե ինչու, օրինակ, մրցումներում մարզիկների տեղերը զրոյից չենք համարակալում։ Այնուհետև առաջին տեղը զբաղեցնողը կստանար արծաթե մեդալ (ոսկին բաժին էր ընկնում զրոյականին) և այլն: Որոշ չափով նման ընթացակարգ էր կիրառվում ֆուտբոլում. չգիտեմ, արդյոք ընթերցողները գիտեն, որ «առաջին լիգա» նշանակում է « հետևելով լավագույններին»: «, իսկ զրոյական լիգան կոչված է դառնալու «մեծ լիգա»:

Երբեմն մենք լսում ենք փաստարկ, որ պետք է սկսել զրոյից, քանի որ դա հարմար է ՏՏ ոլորտի մարդկանց։ Շարունակելով այս նկատառումները՝ պետք է փոխել կիլոմետրի սահմանումը. այն պետք է լինի 1024 մ, քանի որ սա բայթերի քանակն է կիլոբայթում (կանդրադառնամ համակարգչային գիտնականներին հայտնի անեկդոտին՝ «Ի՞նչ տարբերություն առաջին կուրսեցիների և. համակարգչային գիտության ուսանող և այս ֆակուլտետի հինգերորդ կուրսի ուսանող, որ կիլոբայթը 1000 կիլոբայթ է, վերջինը՝ որ կիլոմետրը 1024 մետր է»)!

Մեկ այլ կետ, որին պետք է արդեն լրջորեն վերաբերվել, սա է՝ մենք միշտ չափում ենք զրոյից։ Պարզապես նայեք ցանկացած կշեռքի քանոնի վրա, կենցաղային կշեռքի վրա, նույնիսկ ժամացույցի վրա: Քանի որ մենք չափում ենք զրոյից, և հաշվումը կարելի է հասկանալ որպես չափում չունեցող միավորով, մենք պետք է հաշվենք զրոյից:

Դա պարզ հարց է, բայց...

Թողնենք ընդհանուր հիմնավորումը և վերադառնանք զրոյի բաժանմանը։ Հարցը պարզ է և պարզ կլիներ, եթե չլիներ… բա ի՞նչ: Եկեք մտածենք և փորձենք։ Որքա՞ն կարող է լինել՝ մեկը բաժանված զրոյի: Տեսնենք՝ 1/0 = x. Երկու կողմերը բազմապատկեք ձախ կողմի հայտարարով:

Մենք ստանում ենք 1=0: Ինչ-որ բան այն չէ՞։ Ինչ է պատահել? Ահ, գուշակություն: Մեկի և զրոյի գործակից լինելու ենթադրությունը հանգեցնում է հակասության։ Իսկ եթե մի թիվը չի կարելի բաժանել զրոյի, ապա կարելի է բաժանել մեկ այլ թիվ։ Եթե, Ընթերցող, ուսերդ թոթվում ես ու զարմանում, թե ինչու է հեղինակը (այսինքն՝ ես) գրում նման օրինաչափությունների մասին, ապա... շատ ուրախ եմ։

0/0 = 0 բանաձևը կարելի է համառորեն վիճարկել, սակայն այն հակասում է այն կանոնին, որ թիվն իր վրա բաժանելու արդյունքը հավասար է մեկի: Բոլորովին, բայց բոլորովին տարբեր են մաթեմատիկական վերլուծության մեջ այնպիսի նշաններ, ինչպիսիք են 0/0, °/° և այլն: Դրանք որևէ թիվ չեն նշանակում, այլ որոշակի տեսակների որոշակի հաջորդականությունների խորհրդանշական նշանակում են:

Էլեկտրատեխնիկական գրքում մի հետաքրքիր համեմատություն գտա՝ զրոյի բաժանելը նույնքան վտանգավոր է, որքան բարձր լարման հոսանքը։ Սա նորմալ է. Օհմի օրենքը ասում է, որ լարման և դիմադրության հարաբերակցությունը հավասար է հոսանքի՝ V = U/R: Եթե դիմադրությունը զրոյական լիներ, տեսականորեն անսահման քանակությամբ հոսանք կհոսեր հաղորդիչի միջով՝ այրելով բոլոր հնարավոր հաղորդիչները:

Մի անգամ ես բանաստեղծություն էի գրել զրոյի բաժանման վտանգների մասին՝ շաբաթվա յուրաքանչյուր օրվա համար: Հիշում եմ, որ ամենադրամատիկ օրը հինգշաբթին էր, բայց ես ցավում եմ այս ոլորտում իմ ամբողջ աշխատանքի համար։

Երբ ինչ-որ բան բաժանում ես զրոյի

Երկուշաբթի շատ վաղ

Շաբաթը, որը հենց նոր տեղի ունեցավ

Դուք արդեն լիովին անհաջող եք։

Երբ երեքշաբթի կեսօրին

Զրո ես դնում հայտարարի մեջ

Այդ ժամանակ ես ձեզ կասեմ, դուք սխալվում եք

Իմ վատ մաթեմատիկոս.

Երբ զրոյի միջով, այլասերվածության միջով,

Ցանկանու՞մ եք կիսվել չորեքշաբթի օրը:

Դուք շատ դժվարությունների մեջ կհայտնվեք

Քո գլխում խոտ ու ջուր կա։

Մեզ հետ էր ոմն Բարտեկ։

Նա հակասում էր կանոններին:

Հինգշաբթի օրը այն բաժանվում է զրոյի։

Նա այլևս մեր միջև չէ:

Եթե ​​տարօրինակ ցանկություն է տիրում քեզ,

Ուրբաթ օրը բաժանեք զրոյի

Ես ուղիղ կասեմ, անկեղծ.

Այս շաբաթավերջի վատ սկիզբը:

Երբ այն հարվածում է զրոյի, երբևէ շաբաթ օրը

Բաժանարարը կլինի ձերը (ոչ համարձակ)

Ծնկի իջեք եկեղեցու ցանկապատի տակ։

Սա ձեր կիրակնօրյա ապաշխարությունն է:

Ցանկանում եք զրո գծիկի տակ:

Նշեք տոնը կիրակի օրը

Բեր կավիճ, սև տախտակ։

Գրի՛ր՝ այն չի բաժանվում զրոյի։

Զրոն ասոցացվում է դատարկության և ոչնչության հետ։ Իսկապես, մաթեմատիկան եկավ որպես մեծություն, որը, երբ ավելացվում է որևէ արժեք, այն չի փոխում. x + 0 = x: Բայց հիմա զրոն հայտնվում է մի քանի այլ իմաստներով, հատկապես որպես մասշտաբի սկիզբ. Եթե ​​պատուհանից դուրս ոչ դրական ջերմաստիճան կա, ոչ էլ սառնամանիք, ապա ... սա զրո է, ինչը չի նշանակում, որ ընդհանրապես ջերմաստիճան չկա։ Զրոյական կարգի հուշարձանը այն հուշարձանը չէ, որը վաղուց քանդված է և պարզապես գոյություն չունի։ Ընդհակառակը, դա Վավելի, Էյֆելյան աշտարակի և Ազատության արձանի նման մի բան է։

Դե, դիրքային համակարգում զրոյի կարևորությունը չի կարելի գերագնահատել: Գիտե՞ս, ընթերցող, Բիլ Գեյթսը քանի զրո ունի իր բանկային հաշվին: Չգիտեմ, բայց կեսը կուզեի: Ըստ երևույթին, Նապոլեոն Բոնապարտը նկատել է, որ մարդիկ նման են զրոների. նրանք իմաստ են ստանում դիրքի միջոցով։ Անջեյ Վայդայի Քանի տարիները, ինչպես անցնում են օրերը ֆիլմում, կրքոտ նկարիչ Եժին պայթում է. «Փղշտացին զրո է, նիհիլ, ոչինչ, ոչինչ, նիհիլ, զրո»: Բայց զրոն կարող է լավ լինել. «նորմայից զրոյական շեղում» նշանակում է, որ ամեն ինչ լավ է ընթանում, և այդպես էլ պահիր:

Վերադառնանք մաթեմատիկային։ Զրոն կարելի է անպատիժ գումարել, հանել և բազմապատկել։ «Ես գիրացել եմ զրոյական կիլոգրամով», - ասում է Մանյան Անյային: «Եվ դա հետաքրքիր է, քանի որ ես նույն քաշը կորցրի», - պատասխանում է Անյան: Ուրեմն եկեք վեց անգամ վեց զրոյական չափաբաժին պաղպաղակ ուտենք, դա մեզ չի վնասի։

Մենք չենք կարող բաժանել զրոյի, բայց կարող ենք բաժանել զրոյի: Զրո պելմենի մի ափսե հեշտությամբ կարելի է փոխանցել ուտելիքի սպասողներին: Որքա՞ն է ստանալու յուրաքանչյուր մարդ:

Զրոն դրական կամ բացասական չէ: Սա թիվ է ոչ դրականи ոչ բացասական. Այն բավարարում է x≥0 և x≤0 անհավասարությունները: «Ինչ-որ դրական բան» հակասությունը «ինչ-որ բացասական բան» չէ, այլ «բացասական կամ զրոյի հավասար մի բան»: Մաթեմատիկոսները, հակառակ լեզվի կանոններին, միշտ կասեն, որ ինչ-որ բան «զրո» է, քան «զրո»: Այս պրակտիկան արդարացնելու համար մենք ունենք. եթե կարդում ենք x = 0 «x-ը հավասար է զրոյի» բանաձևը, ապա x = 1 մենք կարդում ենք «x հավասար է մեկ», որը կարելի է կուլ տալ, իսկ ինչ վերաբերում է «x = 1534267»-ին: Դուք նույնպես չեք կարող թվային արժեք վերագրել 0 նիշին⁰ոչ էլ զրոյին հասցնել բացասական հզորության: Մյուս կողմից, դուք կարող եք արմատավորել զրո ըստ ցանկության... և արդյունքը միշտ կլինի զրո, 

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա y = a^x, a-ի դրական հիմքը երբեք չի դառնում զրո: Այստեղից հետևում է, որ զրոյական լոգարիթմ չկա։ Իրոք, a-ի լոգարիթմը մինչև b հիմքը ցուցանիշ է, որի վրա հիմքը պետք է բարձրացվի՝ a-ի լոգարիթմը ստանալու համար: Երբ a = 0 նման ցուցիչ չկա, և զրոն չի կարող լինել լոգարիթմի հիմքը: Սակայն Նյուտոնի խորհրդանիշի «հայտարարի» զրոն այլ բան է։ Մենք ենթադրում ենք, որ այդ պայմանավորվածությունները հակասության չեն հանգեցնում։

Կեղծ ապացույցներ

Զրոյի բաժանումը սովորական թեմա է կեղծ ապացույցների համար, և դա տեղի է ունենում նույնիսկ փորձառու մաթեմատիկոսների հետ: Թույլ տվեք ձեզ բերել իմ ամենասիրած երկու օրինակները: Առաջինը հանրահաշվական է։ «Կապացուցեմ», որ բոլոր թվերը հավասար են։ Ենթադրենք, կան երկու թվեր, որոնք հավասար չեն: Ուստի դրանցից մեկը մյուսից մեծ է, թող a > b. Ենթադրենք, որ c-ն նրանց տարբերությունն է

c \uXNUMXd a - b. Այսպիսով, մենք ունենք a - b = c, որտեղից a = b + c:

Վերջինիս երկու մասերը բազմապատկում ենք a - b-ով.

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

ak-ը տեղափոխում եմ ձախ կողմ, իհարկե հիշում եմ նշանի փոփոխության մասին.

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Ես բացառում եմ ընդհանուր գործոնները.

A(a-b-c) = b(a-b-c),

Ես կիսում եմ և ունեմ այն, ինչ ուզում էի.

ա = բ.

Եվ իրականում նույնիսկ ավելի տարօրինակ, քանի որ ես ենթադրեցի, որ a > b, և ես ստացա, որ a = b: Մինչ վերևի օրինակում «խաբելը» հեշտ է ճանաչել, իսկ ներքևի երկրաչափական ապացույցում դա այնքան էլ հեշտ չէ: Ես կապացուցեմ, որ... trapezoid գոյություն չունի։ Այն գործիչը, որը սովորաբար կոչվում է trapezoid, գոյություն չունի:

Բայց նախ ենթադրենք, որ կա այնպիսի բան, ինչպիսին է trapezoid (ABCD ստորև նկարում): Ունի երկու զուգահեռ կողմեր ​​(«հիմքեր»)։ Երկարացնենք այս հիմքերը, ինչպես պատկերված է նկարում, այնպես, որ ստանանք զուգահեռագիծ։ Նրա անկյունագծերը տրապեզի մյուս անկյունագիծը բաժանում են հատվածների, որոնց երկարությունները նշանակված են x, y, z, ինչպես նկար 1. Համապատասխան եռանկյունների նմանությունից ստանում ենք համամասնությունները.

որտեղից մենք որոշում ենք.

Օրազ

որտեղից մենք որոշում ենք.

Աստղանիշներով նշված հավասարության կողմերը հանեք.

 Երկու կողմերն էլ x − z-ով կրճատելով՝ ստանում ենք – a/b = 1, ինչը նշանակում է, որ a + b = 0։ Բայց a, b թվերը տրապիզոնի հիմքերի երկարություններն են։ Եթե ​​նրանց գումարը զրո է, ապա նրանք նույնպես զրո են։ Սա նշանակում է, որ trapezoid-ի նման գործիչ չի կարող գոյություն ունենալ: Եվ քանի որ ուղղանկյունները, ռոմբուսները և քառակուսիները նույնպես տրապիզոիդներ են, ուրեմն, հարգելի ընթերցող, չկան նաև ռոմբուսներ, ուղղանկյուններ և քառակուսիներ...

Դրա նման

Համօգտագործումը չորս հիմնական գործողություններից ամենահետաքրքիրն ու դժվարինն է: Այստեղ մենք առաջին անգամ բախվում ենք հասուն տարիքում այդքան տարածված երևույթին. Դենիել Ք. Դենեթը դա շատ ճշգրիտ է արտահայտել («Ինչպե՞ս կատարել սխալներ», «Ինչպե՞ս է դա - տիեզերքի գիտական ​​ուղեցույց», CiS, Վարշավա, 1997 թ.):

«Գուշակելու» այս մեթոդը չի խանգարում մեր հասուն կյանքին, գուցե այն պատճառով, որ մենք դա վաղ ենք սովորում, իսկ գուշակելը դժվար չէ: Գաղափարականորեն նույն երեւույթը տեղի է ունենում, օրինակ, մաթեմատիկական (ամբողջական) ինդուկցիայում։ Այնտեղ մենք «կռահում ենք» բանաձևը և այնուհետև ստուգում, թե արդյոք մեր ենթադրությունը ճիշտ է: Ուսանողները միշտ հարցնում են. «Ինչպե՞ս պետք է մենք իմանայինք օրինաչափությունը: Ինչպե՞ս կարող եմ այն ​​դուրս բերել»: Երբ ուսանողներն ինձ տալիս են այս հարցը, ես նրանց հարցը վերածում եմ կատակի. Դպրոցում աշակերտներին կարելի է պատասխանել նույն ոճով, միայն թե ավելի լուրջ։

Զորավարժություններ. Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ մենք սկսում ենք գումարում և գրավոր բազմապատկում ավելի ցածր կարգի միավորով, իսկ բաժանումը ավելի բարձր կարգի միավորով:

Երկու գաղափարների համադրություն

Մաթեմատիկայի ուսուցիչները միշտ նշել են, որ այն, ինչ մենք անվանում ենք բաժանում հասուն տարիքում, երկու հայեցակարգային տարբեր գաղափարների միավորումն է. Բնակարանային պայմանները i տարանջատում.

Նրանցից առաջինը (Բնակարանային պայմանները) առաջանում է այնպիսի խնդիրների դեպքում, որտեղ արխետիպն է.

Պառակտում-բաժանում սրանք այնպիսի առաջադրանքներ են, ինչպիսիք են.

? (Մենք պահպանում ենք այս խնդրի սկզբնական ոճը՝ վերցված Յուլիան Զգոզալևիչի ձեռնարկից, որը հրատարակվել է Կրակովում 1892 թվականին. զլոտին ռենիշական զլոտին է՝ արժույթը, որը շրջանառության մեջ էր Ավստրո-Հունգարական կայսրությունում մինչև XNUMX-րդ դարի սկիզբը):

Այժմ հաշվի առեք երկու խնդիր մաթեմատիկայի ամենահին դասագիրքը լեհերենով, հայր Թոմաշ Կլոս (1538)։ Սա դիվիզիա՞ն է, թե՞ կուպե։ Լուծեք այն այնպես, ինչպես վայել է XNUMX-րդ դարի դպրոցականներին.

(Լեհերենից լեհերեն թարգմանություն. Տակառում կա կվարտա և չորս կաթսա։ Կաթսան չորս կվարտա է։ Ինչ-որ մեկը առևտրի համար գնել է 20 բարել գինի 50 zł–ով։ Տուրքն ու հարկը (ակցիզը) կկազմեն 8 zł։ Որքա՞ն է։ վաճառել կվարտը 8 zł վաստակելու համար):

Սպորտ, ֆիզիկա, համախոհություն

Երբեմն սպորտում պետք է ինչ-որ բան բաժանել զրոյի (նպատակների հարաբերակցությունը): Դե, դատավորները ինչ-որ կերպ զբաղվում են դրանով: Սակայն վերացական հանրահաշվում դրանք օրակարգային են։ ոչ զրոյական քանակություններորի քառակուսին զրո է։ Սա նույնիսկ կարելի է պարզ բացատրել.

Դիտարկենք F ֆունկցիան, որը (x, y) հարթության կետին վերագրում է կետ (y, 0): Ինչ է Ֆ², այսինքն՝ Ֆ-ի կրկնակի կատարում։ Զրոյական ֆունկցիա - յուրաքանչյուր կետ ունի պատկեր (0,0):

Վերջապես, ոչ զրոյական մեծությունները, որոնց քառակուսին 0 է, գրեթե ամենօրյա հաց են ֆիզիկոսների համար, և a + bε ձևի թվեր, որտեղ ε ≠ 0, բայց ε.² = 0, զանգահարում են մաթեմատիկոսները կրկնակի թվեր. Դրանք հանդիպում են մաթեմատիկական վերլուծության և դիֆերենցիալ երկրաչափության մեջ։

Ի վերջո, թվաբանության մեջ կա մի բան, որը առնվազն անվան մեջ ունի զրոյի բաժանում։ Սա գալիս է համընկնում. Թող Z-ը նշանակի ամբողջ թվերի բազմությունը։ Z բազմությունը p-ի բաժանելը նշանակում է, որ մենք յուրաքանչյուր թվին (ամբողջ թվին) հավասարեցնում ենք մի քանի այլ թվերի, այն է՝ նրանց, որոնցով նրանց տարբերությունը բաժանվում է։ Այսպիսով, երբ մենք ունենք հինգ տեսակի թվեր, որոնք համապատասխանում են 0, 1, 2, 3, 4 թվերին, ապա հնարավոր մնացորդները 5-ի բաժանելիս: Բանաձևը գրված է այսպես.

mod, երբ տարբերությունը բազմապատիկ է:

= 2-ում մենք ունենք ընդամենը երկու թիվ՝ 0 և 1: Ամբողջ թվերը երկու նման դասերի բաժանելը համարժեք է զույգերի և կենտների բաժանելուն: Մենք հիմա կփոխարինենք: Տարբերությունը միշտ բաժանվում է 1-ի (ցանկացած ամբողջ թիվ բաժանվում է 1-ի): Կարո՞ղ ենք վերցնել =0: Փորձենք՝ ե՞րբ է երկու թվերի տարբերությունը զրոյի բազմապատիկ: Միայն այն դեպքում, երբ այս երկու թվերը հավասար են: Այսպիսով, ամբողջ թվերի բազմությունը զրոյի բաժանելը իմաստ ունի, բայց դա զվարճալի չէ. ոչինչ չի պատահում: Սակայն պետք է ընդգծել, որ սա թվերի բաժանում չէ տարրական դպրոցից հայտնի իմաստով։

Նման գործողություններն ուղղակի արգելված են, ինչպես երկար ու լայն մաթեմատիկան։

Բրինձ. 2. Համեմատության միջոցով թվերի նույնականացում

(ծառ 5 և ծառ 2)