Ուրեմն ում, այսինքն՝ ՓՈՐՁԵՔ ՈՐՏԵՂ ԿԱՐՈՂ ԵՔ - մաս 2

Նախորդ դրվագում մենք գործ ունեցանք Սուդոկուի հետ՝ թվաբանական խաղ, որտեղ թվերը հիմնականում դասավորված են տարբեր գծապատկերներով՝ համաձայն որոշակի կանոնների։ Ամենատարածված տարբերակը 9×9 չափսի շախմատային տախտակն է, որը լրացուցիչ բաժանված է ինը 3×3 բջիջների: 1-ից 9 թվերը պետք է դրվեն դրա վրա այնպես, որ դրանք չկրկնվեն ոչ ուղղահայաց շարքով (մաթեմատիկոսներն ասում են. սյունակում) կամ հորիզոնական շարքում (մաթեմատիկոսներն ասում են. անընդմեջ) - և, ավելին, այնպես, որ նրանք չեն կրկնվում. կրկնել ցանկացած փոքր քառակուսու ներսում:

Na թզ. 1 մենք տեսնում ենք այս հանելուկը ավելի պարզ տարբերակով, որն իրենից ներկայացնում է 6 × 6 քառակուսի, որը բաժանված է 2 × 3 ուղղանկյունների: Մենք տեղադրում ենք 1, 2, 3, 4, 5, 6 թվերը, որպեսզի դրանք չկրկնվեն ուղղահայաց, ոչ էլ: հորիզոնական, ոչ էլ ընտրված վեցանկյուններից յուրաքանչյուրում:

Եկեք փորձենք ցուցադրված վերին հրապարակում: Կարո՞ղ եք այն լրացնել 1-ից 6 թվերով այս խաղի համար սահմանված կանոններով: Հնարավոր է, բայց ոչ միանշանակ: Տեսնենք՝ ձախ կողմում քառակուսի նկարեք կամ աջ կողմում քառակուսի:

Կարելի է ասել, որ սա հանելուկի հիմքը չէ։ Մենք սովորաբար ենթադրում ենք, որ գլուխկոտրուկն ունի մեկ լուծում. «Մեծ» սուդոկուի համար տարբեր հիմքեր գտնելու խնդիրը՝ 9x9, բարդ խնդիր է, և այն ամբողջությամբ լուծելու հնարավորություն չկա։

Մյուս կարևոր կապը հակասական համակարգն է։ Ներքևի միջին քառակուսին (ներքևի աջ անկյունում 2 համարով) հնարավոր չէ լրացնել: Ինչո՞ւ։

Զվարճանք և նահանջներ

Մենք խաղում ենք: Եկեք օգտագործենք երեխաների ինտուիցիան. Նրանք կարծում են, որ ժամանցը սովորելու ներածություն է: Եկեք գնանք տիեզերք: ներառված է թզ. 2 բոլորը տեսնում են ցանցը քառաեդրոնգնդակներից, օրինակ՝ պինգ-պոնգի գնդակներից։ Հիշեք դպրոցական երկրաչափության դասերը: Նկարի ձախ կողմի գույները բացատրում են, թե ինչի վրա է այն սոսնձված բլոկը հավաքելիս: Մասնավորապես, երեք անկյունային (կարմիր) գնդակներ կսոսնձվեն մեկի մեջ: Հետեւաբար, դրանք պետք է լինեն նույն թվով: Գուցե 9. Ինչո՞ւ: Իսկ ինչու՞ ոչ։

Օ,, ես դա չեմ արտահայտել առաջադրանքներ. Հնչում է մոտավորապես այսպես. հնարավո՞ր է 0-ից 9 թվերը մակագրել տեսանելի ցանցում այնպես, որ յուրաքանչյուր դեմք պարունակի բոլոր թվերը: Խնդիրը դժվար չէ, բայց որքան պետք է պատկերացնել: Ես չեմ փչացնի ընթերցողների հաճույքն ու լուծում չեմ տա։

Սա շատ գեղեցիկ և թերագնահատված ձև է: կանոնավոր ութանիստ, կառուցված երկու բուրգերից (=բուրգերից)՝ քառակուսի հիմքով։ Ինչպես անունն է հուշում, ութանիստն ունի ութ դեմք։

Ութանիստում կա վեց գագաթ: Դա հակասում է խորանարդորն ունի վեց դեմք և ութ գագաթ։ Երկու կտորների եզրերը նույնն են՝ յուրաքանչյուրը տասներկու: Սա կրկնակի պինդ նյութեր - սա նշանակում է, որ միացնելով խորանարդի երեսների կենտրոնները՝ մենք ստանում ենք ութանիստ, իսկ ութանիստի երեսների կենտրոնները մեզ կտան խորանարդ։ Այս երկու բախումները կատարում են («քանի որ նրանք պետք է») Էյլերի բանաձեւԳագաթների քանակի և երեսների քանակի գումարը 2-ով ավելի է, քան եզրերի թիվը:

3. Կանոնավոր ութանիստ զուգահեռ պրոյեկցիայի մեջ և ութանիստ վանդակ, որը կազմված է գնդերից այնպես, որ յուրաքանչյուր եզր ունի չորս գունդ:

Առաջադրանք 1: Նախ՝ մաթեմատիկական բանաձևով գրի՛ր նախորդ պարբերության վերջին նախադասությունը։ Վրա թզ. 3 տեսնում եք ութանիստ ցանց, որը նույնպես կազմված է գնդերից: Յուրաքանչյուր եզր ունի չորս գնդակ: Յուրաքանչյուր դեմք տասը գնդերից բաղկացած եռանկյուն է: Խնդիրը դրված է ինքնուրույն՝ հնարավո՞ր է ցանցի շրջանակների մեջ դնել 0-ից 9 թվեր, որպեսզի պինդ մարմինը սոսնձելուց հետո յուրաքանչյուր պատ պարունակի բոլոր թվերը (հետևում է, որ առանց կրկնության)։ Ինչպես նախկինում, այս առաջադրանքում ամենամեծ դժվարությունն այն է, թե ինչպես է ցանցը վերածվում ամուր մարմնի: Գրավոր չեմ կարող բացատրել, ուստի այստեղ էլ լուծումը չեմ տալիս։

4. Երկու իկոսաեդրոն պինգ-պոնգի գնդակներից։ Ուշադրություն դարձրեք տարբեր գունային սխեման:

արդեն Պլատոնի (և նա ապրել է մ.թ.ա. XNUMX-XNUMX-րդ դարերում) գիտեր բոլոր կանոնավոր բազմանիստերը՝ քառանիստ, խորանարդ, ութանիստ, տասներկուանիստ i իկոսաեդրոն. Զարմանալի է, թե ինչպես է նա հասել այնտեղ՝ ոչ մատիտ, ոչ թուղթ, ոչ գրիչ, ոչ գրքեր, ոչ սմարթֆոն, ոչ ինտերնետ: Այստեղ ես չեմ խոսի տասներկուանիստի մասին: Բայց icosahedral sudoku-ն հետաքրքիր է: Մենք տեսնում ենք այս կտորը նկարազարդում 4և դրա ցանցը նկ. 5.

5. Իկոսաեդրոնի կանոնավոր ցանց։

Ինչպես նախկինում, սա ցանց չէ այն իմաստով, որով մենք հիշում ենք (?!) դպրոցից, այլ գնդակներից (գնդիկներից) եռանկյուններ սոսնձելու եղանակ:

Առաջադրանք 2: Քանի՞ գնդակ է անհրաժեշտ նման իկոսաեդրոն կառուցելու համար: Արդյո՞ք ճիշտ է մնում հետևյալ պատճառաբանությունը. քանի որ յուրաքանչյուր դեմք եռանկյունի է, եթե պետք է լինի 20 երես, ապա անհրաժեշտ է 60 գնդիկ։

6. Գնդերից իկոսաեդրոնի ցանց. Յուրաքանչյուր շրջան, օրինակ, պինգ-պոնգի գնդակ է, բայց նույն գույնով նշված շրջանակների վրա շրջանակների կառուցումը միաձուլվում է մեկի մեջ: Այսպիսով, մենք ունենք տասներկու գնդեր (= տասներկու գագաթներ՝ կարմիր, կապույտ, մանուշակագույն, կապույտ և ութ դեղին):

Հեշտ է տեսնել, որ իկոսաեդրոնի երեք թվերը բավարար չեն։ Ավելի ճիշտ՝ անհնար է 1, 2, 3 թվերով գագաթները թվարկել այնպես, որ յուրաքանչյուր (եռանկյուն) դեմք ունենա այս երեք թվերը և կրկնություններ չլինեն։ Հնարավո՞ր է չորս թվով: Այո, դա հնարավոր է! Եկեք նայենք Բրինձ. 6 և 7.

7. Ահա թե ինչպես կարելի է համարակալել իկոսաեդրոնը կազմող գնդերն այնպես, որ յուրաքանչյուր դեմք պարունակի 1, 2, 3, 4-ից տարբեր թվեր։ Նկ. 4-ը այսպե՞ս գունավորված է:

Առաջադրանք 3: Չորս թվերից երեքը կարելի է ընտրել չորս եղանակով՝ 123, 124, 134, 234: Գտեք հինգ այդպիսի եռանկյունի իկոսաեդրոնում նկ. 7 (ինչպես նաև ից նկարազարդումներ 4).

Առաջադրանք 4 (պահանջում է շատ լավ տարածական երևակայություն): Սիկոզաեդրոնն ունի տասներկու գագաթ, ինչը նշանակում է, որ այն կարող է սոսնձվել տասներկու գնդիկներից (թզ. 7) Նկատի ունեցեք, որ կան երեք գագաթներ (=գնդակներ) պիտակավորված 1-ով, երեքը՝ 2-ով և այլն: Այսպիսով, նույն գույնի գնդակները կազմում են եռանկյուն: Ի՞նչ է այս եռանկյունը: Միգուցե հավասարասա՞ն: Նորից նայեք նկարազարդումներ 4.

Հաջորդ առաջադրանքը պապի / տատիկի և թոռան / թոռնուհու համար. Ծնողները նույնպես կարող են վերջապես փորձել իրենց ուժերը, բայց նրանց պետք է համբերություն և ժամանակ:

Առաջադրանք 5: Գնեք տասներկու (ցանկալի է 24) պինգ-պոնգի գնդակներ, չորս գույնի ներկ, վրձին և ճիշտ սոսինձ. ես խորհուրդ չեմ տալիս արագ գնդակներ, ինչպիսիք են Superglue-ը կամ Droplet-ը, քանի որ դրանք շատ արագ են չորանում և վտանգավոր են երեխաների համար: Սոսինձ իկոսաեդրոնի վրա: Հագցրեք ձեր թոռնուհուն շապիկ, որը անմիջապես հետո կլվացվի (կամ դեն նետվի): Սեղանը ծածկել փայլաթիթեղով (ցանկալի է թերթերով): Զգուշորեն գունավորեք իկոսաեդրոնը չորս գույներով 1, 2, 3, 4, ինչպես ցույց է տրված նկ. թզ. 7. Կարող եք փոխել հերթականությունը՝ նախ գունավորեք փուչիկները, ապա սոսնձեք դրանք: Միևնույն ժամանակ, մանր շրջանակները պետք է չներկված մնան, որպեսզի ներկը չկպչի ներկին։

Հիմա ամենադժվար խնդիրը (ավելի ճիշտ՝ դրանց ամբողջ հաջորդականությունը):

Առաջադրանք 6 (Ավելի կոնկրետ՝ ընդհանուր թեման)։ Պատկերացրեք իկոսաեդրոնը որպես քառանիստ և ութանիստ Բրինձ. 2 և 3 Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր եզրին պետք է լինի չորս գնդակ: Այս տարբերակում առաջադրանքը և՛ ժամանակատար է, և՛ նույնիսկ ծախսատար: Եկեք սկսենք պարզել, թե քանի գնդակ է ձեզ անհրաժեշտ: Յուրաքանչյուր դեմք ունի տասը գնդիկ, ուրեմն իկոսաեդրոնին երկու հարյուրն է պետք: Ո՛չ։ Պետք է հիշել, որ շատ գնդակներ են կիսվում: Քանի՞ եզր ունի իկոսաեդրոնը: Այն կարելի է ջանասիրաբար հաշվարկել, բայց ինչի՞ համար է Էյլերի բանաձևը:

w–k+s=2

որտեղ w, k, s համապատասխանաբար գագաթների, եզրերի և դեմքերի թիվը: Մենք հիշում ենք, որ w = 12, s = 20, ինչը նշանակում է k = 30: Մենք ունենք իկոսաեդրոնի 30 եզր: Դուք կարող եք դա անել այլ կերպ, քանի որ եթե կան 20 եռանկյուններ, ապա դրանք ունեն ընդամենը 60 եզր, բայց դրանցից երկուսը ընդհանուր են:

Եկեք հաշվարկենք, թե քանի գնդակ է ձեզ անհրաժեշտ: Յուրաքանչյուր եռանկյունում կա միայն մեկ ներքին գնդակ՝ ոչ մեր մարմնի վերին մասում, ոչ եզրին: Այսպիսով, մենք ունենք ընդհանուր առմամբ 20 նման գնդակ։ Կան 12 գագաթներ։ Յուրաքանչյուր եզր ունի երկու ոչ գագաթային գնդիկներ (դրանք գտնվում են եզրի ներսում, բայց ոչ դեմքի ներսում): Քանի որ կան 30 եզրեր, կան 60 մարմարներ, բայց դրանցից երկուսը կիսված են, ինչը նշանակում է, որ ձեզ անհրաժեշտ է ընդամենը 30 մարմար, այնպես որ ձեզ անհրաժեշտ է ընդհանուր առմամբ 20 + 12 + 30 = 62 մարմար: Գնդակներ կարելի է գնել առնվազն 50 կոպեկով (սովորաբար ավելի թանկ): Եթե ​​ավելացնեք սոսինձի արժեքը, այն դուրս կգա ... շատ: Լավ կապը պահանջում է մի քանի ժամ տքնաջան աշխատանք: Նրանք միասին հարմար են հանգստի ժամանցի համար. խորհուրդ եմ տալիս, օրինակ, հեռուստացույց դիտելու փոխարեն:

Նահանջ 1. Անջեյ Վայդայի «Տարիներ, օրեր» ֆիլմաշարում երկու տղամարդ շախմատ են խաղում, «որովհետև նրանք պետք է ինչ-որ կերպ անցկացնեն ժամանակը մինչև ճաշը»: Այն տեղի է ունենում գալիցիայի Կրակովում։ Իրոք, թերթերն արդեն կարդացվել են (այն ժամանակ 4 էջ ունեին), հեռուստացույցն ու հեռախոսը դեռ չեն հորինվել, ֆուտբոլային հանդիպումներ չկան։ Ձանձրույթ ջրափոսերում. Նման իրավիճակում մարդիկ իրենց համար ժամանց են մտածել։ Այսօր մենք ունենք դրանք հեռակառավարման վահանակը սեղմելուց հետո ...

Նահանջ 2. Մաթեմատիկայի ուսուցիչների ասոցիացիայի 2019 թվականի հանդիպման ժամանակ իսպանացի պրոֆեսորը ցուցադրեց համակարգչային ծրագիր, որը կարող է ցանկացած գույնի ամուր պատեր ներկել: Մի փոքր սողացող էր, քանի որ նրանք միայն ձեռքերն էին նկարում, գրեթե կտրում էին մարմինը։ Ինքս ինձ մտածեցի՝ ինչքա՞ն հաճույք կարող ես ստանալ նման «ստվերից»։ Ամեն ինչ տևում է երկու րոպե, իսկ չորրորդին մենք ոչինչ չենք հիշում: Մինչդեռ հնաոճ «ասեղնագործությունը» հանգստացնում ու դաստիարակում է։ Ով չի հավատում, թող փորձի։

Եկեք վերադառնանք XNUMX-րդ դար և մեր իրողությունները: Եթե ​​մենք չենք ուզում թուլացում՝ գնդերի ժամանակատար սոսնձման տեսքով, ապա կնկարենք իկոսաեդրոնի առնվազն ցանց, որի եզրերն ունեն չորս գնդակ։ Ինչպե՞ս դա անել: Կտրեք այն ճիշտ նկ. 6. Ուշադիր ընթերցողն արդեն կռահում է խնդիրը.

Առաջադրանք 7: Հնարավո՞ր է 0-ից 9 թվերով գնդիկները թվարկել այնպես, որ այս բոլոր թվերը հայտնվեն նման սրբապատկերի յուրաքանչյուր երեսին:

Ինչի՞ համար ենք մեզ վարձատրում։

Այսօր մենք հաճախ ենք ինքներս մեզ տալիս մեր գործունեության նպատակի հարցը, իսկ «գորշ հարկատուն» կհարցնի, թե ինչո՞ւ պետք է մաթեմատիկոսներին վճարի նման գլուխկոտրուկներ լուծելու համար։

Պատասխանը բավականին պարզ է. Նման «փազլները», ինքնին հետաքրքիր, «ավելի լուրջ բանի բեկոր են»։ Ի վերջո, զորահանդեսները բարդ ծառայության միայն արտաքին, դիտարժան մասն են: Բերեմ ընդամենը մեկ օրինակ, բայց կսկսեմ տարօրինակ, բայց միջազգայնորեն ճանաչված մաթեմատիկական առարկայից. 1852 թվականին մի անգլիացի ուսանող հարցրեց իր պրոֆեսորին, թե հնարավո՞ր է քարտեզը գունավորել չորս գույներով, որպեսզի հարևան երկրները միշտ տարբեր գույներով ցուցադրվեն: Ավելացնեմ, որ մենք «հարևաններ» չենք համարում նրանց, ովքեր հանդիպում են միայն մեկ կետում, ինչպիսիք են ԱՄՆ-ի Վայոմինգ և Յուտա նահանգները: Պրոֆեսորը չգիտեր... և խնդիրը լուծում էր սպասում ավելի քան հարյուր տարի։

8. Icosahedron RECO բլոկներից: Ֆլեշ ռեֆլեկտորները ցույց են տալիս, թե ինչ ընդհանրություն ունի իկոսաեդրոնը եռանկյունու և հնգանկյունի հետ: Հինգ եռանկյուններ միավորվում են յուրաքանչյուր գագաթին:

Դա տեղի ունեցավ անսպասելի կերպով. 1976 թվականին մի խումբ ամերիկացի մաթեմատիկոսներ ծրագիր գրեցին այս խնդիրը լուծելու համար (և նրանք որոշեցին. այո, չորս գույնը միշտ բավարար կլինի): Սա «մաթեմատիկական մեքենայի» օգնությամբ ձեռք բերված մաթեմատիկական փաստի առաջին ապացույցն էր, ինչպես համակարգիչը կոչվում էր կես դար առաջ (և նույնիսկ ավելի վաղ՝ «էլեկտրոնային ուղեղ»):

Ահա հատուկ ցուցադրված «Եվրոպայի քարտեզը» (թզ. 9) Այն երկրները, որոնք ունեն ընդհանուր սահման, կապված են։ Քարտեզը գունավորելը նույնն է, ինչ այս գրաֆիկի շրջանագծերը (կոչվում է գրաֆիկ) այնպես, որ ոչ մի կապակցված շրջանակ նույն գույնի չլինի: Լիխտենշտեյնին, Բելգիային, Ֆրանսիային և Գերմանիային նայելը ցույց է տալիս, որ երեք գույները բավարար չեն: Ցանկության դեպքում, Ընթերցող, գունավորիր այն չորս գույներով։

9. Եվրոպայում ո՞վ ում հետ է սահմանակից։

Դե, այո, բայց արժե՞ հարկատուների փողերը։ Այսպիսով, եկեք մի փոքր այլ կերպ նայենք նույն գրաֆիկին: Մոռացեք, որ կան պետություններ և սահմաններ։ Թող շրջանակները խորհրդանշեն տեղեկատվական փաթեթներ, որոնք պետք է ուղարկվեն մի կետից մյուսը (օրինակ, P-ից դեպի EST), իսկ հատվածները ներկայացնում են հնարավոր կապերը, որոնցից յուրաքանչյուրն ունի իր թողունակությունը: Ուղարկե՞լ որքան հնարավոր է շուտ:

Նախ, մաթեմատիկական տեսանկյունից նայենք մի շատ պարզեցված, բայց նաև շատ հետաքրքիր իրավիճակի։ Մենք պետք է ինչ-որ բան ուղարկենք S կետից (= որպես սկիզբ) դեպի M կետ (= ավարտ), օգտագործելով նույն թողունակությամբ միացումների ցանցը, ասենք 1: Մենք սա տեսնում ենք. թզ. 10.

10. Միացումների ցանց Statsyika Zdrój-ից մինչև Megapolis:

Պատկերացնենք, որ S-ից Մ-ին անհրաժեշտ է ուղարկել մոտ 89 բիթ տեղեկատվություն։ Այս խոսքերի հեղինակին դուր են գալիս գնացքների հետ կապված խնդիրները, ուստի նա պատկերացնում է, որ ինքը Stacie Zdrój-ում մենեջեր է, որտեղից պետք է ուղարկի 144 վագոն։ դեպի մետրոպոլիայի կայարան։ Ինչու հենց 144: Քանի որ, ինչպես կտեսնենք, սա կօգտագործվի ամբողջ ցանցի թողունակությունը հաշվարկելու համար: Տարողությունը յուրաքանչյուր լոտում 1 է, այսինքն. մեկ մեքենա կարող է անցնել մեկ միավորի համար (մեկ տեղեկատվական բիթ, հնարավոր է նաև Gigabyte):

Եկեք համոզվենք, որ բոլոր մեքենաները միևնույն ժամանակ հանդիպեն M-ում: Բոլորն այնտեղ հասնում են 89 միավոր ժամանակում: Եթե ​​ես ուղարկելու համար շատ կարևոր տեղեկատվական փաթեթ ունեմ S-ից M, ես այն բաժանում եմ 144 միավորից բաղկացած խմբերի և առաջ եմ մղում վերևում: Մաթեմատիկան երաշխավորում է, որ սա կլինի ամենաարագը: Ինչպե՞ս ես իմացա, որ քեզ պետք է 89: Ես իրականում կռահեցի, բայց եթե չկռահեի, պետք է պարզեի Կիրխհոֆի հավասարումը (ինչ-որ մեկը հիշում է: - սրանք հոսանքի հոսքը նկարագրող հավասարումներ են): Ցանցի թողունակությունը 184/89 է, որը մոտավորապես հավասար է 1,62-ի։

Ուրախության մասին

Ի դեպ, ինձ դուր է գալիս 144 թիվը: Ինձ դուր եկավ այս համարով ավտոբուսով գնալ Վարշավայի Ամրոցի հրապարակ, երբ կողքին վերականգնված Թագավորական ամրոց չկար: Երևի երիտասարդ ընթերցողները գիտեն, թե ինչ է տասնյակը: Դա 12 օրինակ է, բայց միայն տարեց ընթերցողները հիշում են, որ մեկ տասնյակ, այսինքն. 122=144, սա այսպես կոչված լոտն է։ Եվ դա անմիջապես կհասկանա բոլորը, ովքեր մաթեմատիկա գիտեն մի փոքր ավելի, քան դպրոցական ծրագիրը թզ. 10 մենք ունենք Ֆիբոնաչիի թվեր, և որ ցանցի թողունակությունը մոտ է «ոսկե թվին»:

Ֆիբոնաչիի հաջորդականության մեջ 144-ը միակ թիվն է, որը կատարյալ քառակուսի է: Հարյուր քառասունչորսը նույնպես «ուրախ թիվ» է։ Այդպես հնդիկ սիրողական մաթեմատիկոս Դատաթրեյա Ռամաչանդրա Կապրեկար 1955 թվականին նա անվանեց թվեր, որոնք բաժանվում են իրենց կազմող թվանշանների գումարի վրա.

Եթե ​​նա դա իմանար Ադամ Միսկավիջ, նա, անշուշտ, Ձյադիում ոչ կգրեր. «Օտար մորից. նրա արյունը նրա հին հերոսներն են / Եվ նրա անունը քառասունչորս է, միայն ավելի նրբագեղ. Եվ նրա անունը հարյուր քառասունչորս է:

Լրջորեն վերաբերվեք ժամանցին

Հուսով եմ, որ ես համոզեցի ընթերցողներին, որ սուդոկու հանելուկները հարցերի զվարճալի կողմն են, որոնք, անշուշտ, արժանի են լուրջ ընդունելության: Ես չեմ կարող ավելի զարգացնել այս թեման: Oh, ամբողջական ցանցի թողունակության հաշվարկը ներկայացված գծապատկերից թզ. 9 Հավասարումների համակարգ գրելը կպահանջի երկու կամ ավելի ժամ, գուցե նույնիսկ տասնյակ վայրկյան (!) համակարգչային աշխատանք: