Գունավոր քառակուսիներ և արևի խավարումներ
Հոդվածում նկարագրված են իմ դասերը միջին դպրոցի աշակերտների համար՝ Ազգային մանկական հիմնադրամի կրթաթոշակակիրներ: Հիմնադրամը փնտրում է հատկապես շնորհալի երեխաների և երիտասարդների (տարրական դպրոցի XNUMX-րդ դասարանից մինչև ավագ դպրոց) և ընտրված ուսանողներին առաջարկում է «կրթաթոշակներ»: Այնուամենայնիվ, դրանք ամենևին էլ բաղկացած չեն կանխիկ գումարի դուրսբերումից, այլ տաղանդի զարգացման համապարփակ հոգածությունից, որպես կանոն, երկար տարիների ընթացքում: Ի տարբերություն այս տիպի բազմաթիվ այլ նախագծերի, հայտնի գիտնականները, մշակույթի գործիչները, ականավոր հումանիստները և այլ իմաստուն մարդիկ, ինչպես նաև որոշ քաղաքական գործիչներ լուրջ են վերաբերվում Հիմնադրամի բաժանմունքներին։
Հիմնադրամի գործունեությունը տարածվում է դպրոցական հիմնական առարկա հանդիսացող բոլոր առարկաների վրա, բացառությամբ սպորտի, այդ թվում՝ արվեստի։ Հիմնադրամը ստեղծվել է 1983 թվականին՝ որպես հակաթույն այն ժամանակվա իրականությանը։ Հիմնադրամ կարող է դիմել յուրաքանչյուր ոք (սովորաբար դպրոցի միջոցով, ցանկալի է՝ մինչև ուսումնական տարվա ավարտը), բայց, իհարկե, կա որոշակի մաղ, որոշակի որակավորման կարգ։
Ինչպես արդեն նշեցի, հոդվածը հիմնված է իմ վարպետության դասերի վրա, մասնավորապես Գդինիայում, 2016 թվականի մարտին, III ավագ դպրոցի 24-րդ կրտսեր ավագ դպրոցում: Նավատորմ. Այս սեմինարները երկար տարիներ կազմակերպվել են Հիմնադրամի հովանու ներքո՝ արտասովոր խարիզմայի և բարձր ինտելեկտուալ մակարդակի ուսուցիչ Վոյցեխ Թոմալչիկի կողմից։ 2008 թվականին նա մտել է Լեհաստանի լավագույն տասնյակը, որոնց շնորհվել է մանկավարժության պրոֆեսորի կոչում (օրենքով նախատեսված է շատ տարիներ առաջ)։ «Կրթությունն աշխարհի առանցքն է» հայտարարության մեջ կա մի փոքր չափազանցություն։
և լուսինը նրանք միշտ հետաքրքրաշարժ են, այդ դեպքում դուք կարող եք զգալ, որ մենք ապրում ենք մի փոքրիկ մոլորակի վրա՝ հսկայական տարածության մեջ, որտեղ ամեն ինչ շարժման մեջ է՝ չափված սանտիմետրերով և վայրկյաններով: Ինձ նույնիսկ մի քիչ վախեցնում է, նաև ժամանակի հեռանկարը։ Մենք իմանում ենք, որ հաջորդ ամբողջական խավարումը, որը տեսանելի է այսօրվա Վարշավայի տարածքից, կլինի ... 2681 թ. Հետաքրքիր է, ո՞վ է տեսնելու: Մեր երկնքում Արևի և Լուսնի ակնհայտ չափերը գրեթե նույնն են, այդ իսկ պատճառով խավարումները այնքան կարճ են և այնքան տպավորիչ: Դարեր շարունակ այդ կարճ րոպեները պետք է բավական լինեն, որպեսզի աստղագետները տեսնեն արեգակնային պսակը: Տարօրինակ է, որ դրանք տեղի են ունենում տարին երկու անգամ... բայց դա միայն նշանակում է, որ Երկրի վրա ինչ-որ տեղ նրանց կարելի է տեսնել կարճ ժամանակով: Մակընթացային շարժումների արդյունքում Լուսինը հեռանում է Երկրից - 260 միլիոն տարի հետո այն այնքան հեռու կլինի, որ մենք (մենք???) կտեսնենք միայն օղակաձև խավարումներ:
Հավանաբար առաջինը գուշակեց խավարումը, Թալես Միլետացին էր (մ.թ.ա. 28-585 դդ.)։ Մենք հավանաբար չենք իմանա՝ արդյոք դա իրականում եղել է, այսինքն՝ նա կանխագուշակել է, քանի որ այն, որ Փոքր Ասիայում խավարումը տեղի է ունեցել մ.թ.ա. 567 թվականի մայիսին, ժամանակակից հաշվարկներով հաստատված փաստ է։ Իհարկե, ես մեջբերում եմ տվյալներ այսօրվա ժամանակի հաշվին: Երբ ես երեխա էի, պատկերացնում էի, թե ինչպես են մարդիկ հաշվում տարիները։ Այսպիսով, սա, օրինակ, մ.թ.ա 566 տարի է, գալիս է Ամանորի գիշերը, և մարդիկ ուրախանում են. միայն մ.թ.ա XNUMX տարի: Որքա՜ն երջանիկ պիտի լինեին, երբ վերջապես եկավ «մեր դարաշրջանը»։ Հազարամյակների ինչպիսի շրջադարձ, որ մենք ապրեցինք մի քանի տարի առաջ։
Ամսաթվերի և միջակայքերի հաշվարկման մաթեմատիկա խավարում, առանձնապես բարդ չէ, բայց լցված է բոլոր տեսակի գործոններով, որոնք կապված են կանոնավորության և, ավելի վատ, մարմնի անհավասար շարժման հետ ուղեծրերում: Ես նույնիսկ կցանկանայի իմանալ այս մաթեմատիկան: Ինչպե՞ս կարող էր Թալես Միլետացին կատարել անհրաժեշտ հաշվարկները: Պատասխանը պարզ է. Դուք պետք է ունենաք երկնքի քարտեզ: Ինչպե՞ս պատրաստել նման քարտեզ: Սա նույնպես դժվար չէ, հին եգիպտացիները գիտեին, թե ինչպես դա անել: Կեսգիշերին երկու քահանաներ դուրս են գալիս տաճարի տանիք։ Նրանցից յուրաքանչյուրը նստում է և նկարում է այն, ինչ տեսնում է (ինչպես իր գործընկերը): Երկու հազար տարի անց մենք ամեն ինչ գիտենք մոլորակների շարժման մասին ...
Գեղեցիկ երկրաչափություն կամ զվարճանք «գորգի» վրա
Հույները թվեր չէին սիրում, նրանք դիմում էին երկրաչափության։ Ահա թե ինչ ենք անելու։ Մեր խավարումը դրանք կլինեն պարզ, գունեղ, բայց նույնքան հետաքրքիր ու իրական: Մենք ընդունում ենք այն պայմանը, որ կապույտ գործիչը շարժվում է այնպես, որ խավարում է կարմիրը: Կապույտ կերպարին անվանենք լուսին, իսկ կարմիր կերպարին՝ արև։ Մենք ինքներս մեզ տալիս ենք հետևյալ հարցերը.
- որքան է տևում խավարումը;
- երբ թիրախի կեսը ծածկված է.
Բրինձ. 1 Բազմագույն «գորգ» արևի և լուսնի հետ
- որն է առավելագույն ծածկույթը;
- հնարավո՞ր է վերլուծել վահանի ծածկույթի կախվածությունը ժամանակից: Այս հոդվածում (ես սահմանափակվում եմ տեքստի քանակով) ես կկենտրոնանամ երկրորդ հարցի վրա. Սրա հետևում գեղեցիկ երկրաչափություն է՝ թերևս առանց ձանձրալի հաշվարկների։ Եկեք նայենք թզ. 1. Կարելի՞ է ենթադրել, որ այն կապված կլինի ...արեգակի խավարման հետ:
Անկեղծորեն պետք է ասեմ, որ առաջադրանքները, որոնք ես կքննարկեմ, լինելու են հատուկ ընտրված՝ հարմարեցված միջին և ավագ դպրոցի սովորողների գիտելիքներին և հմտություններին։ Բայց մենք մարզվում ենք այնպիսի առաջադրանքներով, երբ երաժիշտները կշեռք են նվագում, իսկ մարզիկները ընդհանուր զարգացման վարժություններ են անում։ Բացի այդ, չէ՞ որ դա պարզապես գեղեցիկ գորգ է (նկ. 1):
Բրինձ. 2 «Կապույտ» լուսին և «կարմիր» արև
Մեր երկնային մարմինները, գոնե սկզբնական շրջանում, կլինեն գունավոր քառակուսիներ: Լուսինը կապույտ է, արևը կարմիր է (լավագույնը գունավորելու համար): ներկայի հետ խավարումը Լուսինը հալածում է արևին երկնքով, հասնում է ... և փակում այն: Մեզ մոտ այդպես է լինելու։ Ամենապարզ դեպքը, երբ Լուսինը շարժվում է Արեգակի համեմատ, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 2. Խավարումը սկսվում է այն ժամանակ, երբ Լուսնի սկավառակի եզրը դիպչում է Արեգակի սկավառակի եզրին (նկ. 2) և ավարտվում, երբ այն անցնում է դրանից այն կողմ:
Բրինձ. 3 Լուսինը մոտենում է արեգակին անկյունագծով
Մենք ենթադրում ենք, որ «Լուսինը» մեկ բջիջ է տեղափոխում ժամանակի միավորի վրա, օրինակ՝ րոպեում։ Այնուհետև խավարումը տևում է ութ միավոր ժամանակ, ասենք րոպեներ: Կես արեգակնային խավարումներ ամբողջությամբ խամրած Հավաքածուի կեսը փակվում է երկու անգամ՝ 2 և 6 րոպե հետո: Տոկոսային խավարման գրաֆիկը պարզ է: Առաջին երկու րոպեների ընթացքում վահանը հավասարաչափ փակվում է զրոյից մինչև 1 արագությամբ, հաջորդ երկու րոպեներին այն բացվում է նույն արագությամբ:
Ահա ավելի հետաքրքիր օրինակ (նկ. 3): Լուսինը մոտենում է արեգակին անկյունագծով։ Ըստ մեր մեկ րոպեի վճարման պայմանագրի՝ խավարումը տևում է 8√2 րոպե - այս ժամանակի կեսին մենք ունենք ամբողջական խավարում: Հաշվենք, թե արեգակի որ հատվածն է ծածկված t ժամանակից հետո (նկ. 3): Եթե խավարման սկզբից անցել է t րոպե, և արդյունքում Լուսինն այնպիսին է, ինչպիսին ցույց է տրված Նկ. 5, ապա (ուշադրություն!) Հետևաբար, այն ծածկված է (քառակուսի APQR տարածքը), հավասար է արևային սկավառակի կեսին, հետևաբար, այն ծածկված է, երբ, այսինքն. 4 րոպե հետո (այնուհետև խավարման ավարտից 4 րոպե առաջ):
Բրինձ. 4 «Ստվեր» ֆունկցիայի գրաֆիկ
Ամբողջականություն տևում է մեկ պահ (t = 4√2), իսկ «ստվերավորված մաս» ֆունկցիայի գրաֆիկը բաղկացած է պարաբոլների երկու աղեղից (նկ. 4)։
Մեր կապույտ լուսինը կդիպչի կարմիր արևի անկյունին, բայց կծածկի այն՝ գնալով ոչ թե անկյունագծով, այլ փոքր-ինչ անկյունագծով։Հետաքրքիր երկրաչափություն է ի հայտ գալիս, երբ մի փոքր բարդացնում ենք շարժումը (նկ. 6)։ Շարժման ուղղությունն այժմ վեկտոր է [4,3], այսինքն՝ «չորս բջիջ դեպի աջ, երեք բջիջ վեր»։ Արեգակի դիրքն այնպիսին է, որ խավարումը սկսվում է (Ա դիրք), երբ «երկնային մարմինների» կողմերը միանում են իրենց երկարության քառորդին։ Երբ Լուսինը շարժվում է դեպի B դիրք, այն կխավարի Արեգակի մեկ վեցերորդը, իսկ C դիրքում կխավարի կեսը: Դ դիրքում մենք ունենք ամբողջական խավարում, և հետո ամեն ինչ հետ է գնում, «ինչպես որ եղել է»:
Բրինձ. 5 Արեգակի մի մասը թաքնված ժամանակ t
Խավարումն ավարտվում է, երբ Լուսինը գտնվում է G դիրքում: Այն տևել է այնքան, որքան հատվածի երկարությունը AG. Եթե, ինչպես նախկինում, որպես ժամանակի միավոր վերցնենք այն ժամանակը, որի ընթացքում Լուսինն անցնում է «մեկ քառակուսի», ապա AG-ի երկարությունը հավասար է։ Եթե վերադառնայինք հին ավանդույթին, որ մեր երկնային մարմինները 4-ը 4-ի են, արդյունքը այլ կլիներ (ի՞նչ): Քանի որ հեշտ է ցույց տալ, թիրախը փակվում է t < 15-ից հետո: «Էկրանի ծածկույթի տոկոս» ֆունկցիայի գրաֆիկը կարելի է տեսնել նկ. 6.
Բրինձ. 6 «Տոկոսային պաշտպանություն» ֆունկցիայի գրաֆիկ
Խավարման և ցատկի հավասարում
Բրինձ. 7 Արեգակնային սկավառակի խցանումը խավարման ժամանակ ցույց է տրված նկ. 6
Խավարումների խնդիրը թերի կլիներ, եթե չդիտարկեինք շրջանների դեպքը։ Սա շատ ավելի բարդ է, բայց եկեք փորձենք պարզել, թե երբ մի շրջանակը խավարում է մյուսի կեսը, և ամենապարզ դեպքում, երբ նրանցից մեկը շարժվում է երկուսն էլ միացնող տրամագծով: Խաղարկությունը ծանոթ է ինչ-որ վարկային քարտի սեփականատերերին:
Դաշտերի դիրքի հաշվարկը բարդ է, քանի որ դա պահանջում է, առաջին հերթին, շրջանաձև հատվածի տարածքի բանաձևի իմացություն, երկրորդ՝ անկյան աղեղի իմացություն և երրորդ (և ամենավատը) կարողություն. լուծել որոշակի թռիչքային հավասարում. Չեմ բացատրի, թե ինչ է «անցումային հավասարումը», նայենք օրինակին (նկ. 8):
Բրինձ. 8 «Գնդաձեւ» խավարում
Շրջանաձև հատվածը այն «ամանն» է, որը մնում է ուղիղ գծով շրջան կտրելուց հետո։ Նման հատվածի տարածքը S = 1/2r է2(φ-sinφ), որտեղ r-ը շրջանագծի շառավիղն է, իսկ φ՝ կենտրոնական անկյունը, որի վրա հենվում է հատվածը (նկ. 8): Սա հեշտությամբ կարելի է ձեռք բերել՝ հանելով եռանկյունու տարածքը շրջանաձև հատվածի տարածքից:
Սերիա Օ1O2 (շրջանների կենտրոնների միջև հեռավորությունը) այնուհետև հավասար է 2rcosφ/2, իսկ բարձրությունը (լայնությունը, «իրանի գիծ») h = 2rsinφ/2: Այսպիսով, եթե ուզում ենք հաշվարկել, թե երբ է Լուսինը ծածկելու արեգակնային սկավառակի կեսը, ապա պետք է լուծենք հավասարումը, որը պարզեցնելուց հետո դառնում է.
Բրինձ. 9 Երկու ֆունկցիաների գրաֆիկներ
Նման հավասարումների լուծումը դուրս է գալիս պարզ հանրահաշիվից. հավասարումը պարունակում է և՛ անկյունները, և՛ դրանց եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Հավասարումը դուրս է ավանդական մեթոդներից: Դրա համար էլ կոչվում է ցատկել. Եկեք նախ դիտարկենք երկու ֆունկցիաների գրաֆիկները, այսինքն՝ ֆունկցիաները և ֆունկցիաները։Այս նկարից կարող ենք մոտավոր լուծում կարդալ։ Այնուամենայնիվ, մենք կարող ենք ստանալ կրկնվող մոտարկում կամ… օգտագործել «Վերլուծիչ» տարբերակը Excel աղյուսակում: Յուրաքանչյուր ավագ դպրոցի աշակերտ պետք է կարողանա դա անել, քանի որ 20-րդ դարն է: Ես օգտագործեցի ավելի բարդ Mathematica գործիք, և ահա մեր լուծումը XNUMX տասնորդական թվերով ավելորդ ճշգրտությամբ.
SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.
Բրինձ. 10 Խավարման անիմացիա matematica-ում
Մենք սա վերածում ենք աստիճանների՝ բազմապատկելով 180/π-ով: Մենք ստանում ենք 132 աստիճան, 20 րոպե, 45 և քառորդ աղեղային վայրկյան: Մենք հաշվարկում ենք, որ շրջանագծի կենտրոնի հեռավորությունը O է1O2 = 0,808 շառավիղ, իսկ «իրան» 2,310:
