հինգ անգամ աչքի մեջ
2020 թվականի վերջին բուհերում և դպրոցներում անցկացվեցին մի շարք միջոցառումներ, որոնք հետաձգվեցին... մարտից։ Դրանցից մեկը Պի օրվա «տոնակատարությունն» էր։ Այս թեմայով ես դեկտեմբերի 8-ին հեռավար դասախոսություն կարդացի Սիլեզիայի համալսարանում, և այս հոդվածը դասախոսության ամփոփումն է: Ամբողջ խնջույքը սկսվեց 9.42-ին, իսկ իմ դասախոսությունը նախատեսված է 10.28-ին։ Որտեղի՞ց է գալիս այս ճշգրտությունը: Պարզ է. 3 անգամ pi-ը մոտավորապես 9,42 է, իսկ pi-ն 2-րդ հզորության նկատմամբ կազմում է մոտ 9,88, իսկ ժամը 9-ը մինչև 88-րդ ուժը 10-ն է 28-րդ աստիճանի...
Այս թիվը մեծարելու սովորությունն է արտահայտում է շրջանագծի շրջագծի և նրա տրամագծի հարաբերությունը և երբեմն կոչվում է Արքիմեդի հաստատուն (և նաև գերմանախոս մշակույթներում), ծագում է ԱՄՆ-ից (տես նաեւ: ) 3.14 մարտի «Ամերիկյան ոճ» ժամը 22:22, այստեղից էլ գաղափարը. Լեհական համարժեքը կարող է լինել հուլիսի 7-ը, քանի որ 14/XNUMX կոտորակը մոտավոր է π լավ, ինչը… Արքիմեդն արդեն գիտեր: Դե, մարտի XNUMX-ը կողմնակի իրադարձությունների լավագույն ժամանակն է:
Այս երեք և տասնչորս հարյուրերորդականը այն սակավաթիվ մաթեմատիկական ուղերձներից մեկն է, որը մեզ մնացել է դպրոցից մեր մնացած կյանքի համար: Բոլորը գիտեն, թե դա ինչ է նշանակում»հինգ անգամ աչքի մեջ«. Այն այնքան արմատացած է լեզվի մեջ, որ դժվար է այն արտահայտել այլ կերպ և նույնքան նրբագեղ: Երբ ես մեքենաների վերանորոգման խանութում հարցրի, թե որքան կարժենա վերանորոգումը, մեխանիկը մի պահ մտածեց և ասաց. «հինգ անգամ մոտ ութ հարյուր զլոտի»։ Ես որոշեցի օգտվել իրավիճակից։ «Դուք նկատի ունեք կոպիտ մոտավորություն»: Հավանաբար, մեխանիկը մտածեց, որ ես ճիշտ չեմ լսել, ուստի նա կրկնեց.
.
Ինչի մասին է? Երկրորդ համաշխարհային պատերազմին նախորդած ուղղագրության մեջ «ոչ»-ն օգտագործվում էր միասին, և ես այն թողեցի այնտեղ: Այստեղ մենք գործ չունենք չափից դուրս գրկած պոեզիայի հետ, թեև ինձ դուր է գալիս այն միտքը, որ «ոսկե նավը ցնցում է երջանկությունը»: Հարցրեք ուսանողներին. Ի՞նչ է նշանակում այս միտքը: Բայց այս տեքստի արժեքը այլ տեղ է: Հետևյալ բառերի տառերի թիվը pi-ի ընդլայնման թվերն են: Եկեք նայենք.
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117
1596 թվականին գերմանական ծագումով հոլանդացի գիտնական Լյուդոլֆ վան Սեուլեն հաշվարկել է pi-ի արժեքը մինչև 35 տասնորդական տեղ. Այնուհետև այս թվերը փորագրվել են նրա գերեզմանի վրա: Նա բանաստեղծություն է նվիրել pi թվին և մեր Նոբելյան դափնեկրին, Վիսլավա Շիմբորսկա. Շիմբորսկան հիացած էր այս թվի ոչ պարբերականությամբ և այն փաստով, որ 1-ի հավանականությամբ այնտեղ կհայտնվի թվերի յուրաքանչյուր հաջորդականություն, օրինակ մեր հեռախոսահամարը։ Թեև առաջին հատկությունը բնորոշ է յուրաքանչյուր իռացիոնալ թվին (ինչը մենք պետք է հիշենք դպրոցից), երկրորդը հետաքրքիր մաթեմատիկական փաստ է, որը դժվար է ապացուցել: Դուք նույնիսկ կարող եք գտնել հավելվածներ, որոնք առաջարկում են. տվեք ձեր հեռախոսահամարը և ես ձեզ կասեմ, թե որտեղ է այն pi-ով:
Որտեղ կլորություն կա, այնտեղ քուն է: Եթե մենք ունենք կլոր լիճ, ապա դրա շուրջ քայլելը 1,57 անգամ ավելի երկար է, քան լողալը։ Իհարկե, դա չի նշանակում, որ մենք մեկուկես-երկու անգամ ավելի դանդաղ ենք լողալու, քան կանցնենք։ Ես կիսեցի 100 մ աշխարհի ռեկորդը 100 մ աշխարհի ռեկորդի հետ: Հետաքրքիր է, որ տղամարդկանց և կանանց մոտ արդյունքը գրեթե նույնն է և կազմում է 4,9: Մենք լողում ենք 5 անգամ ավելի դանդաղ, քան վազում ենք։ Թիավարությունը բոլորովին այլ է, բայց հետաքրքիր մարտահրավեր: Այն բավականին երկար պատմություն ունի:
Փախչելով հետապնդող չարագործից՝ գեղեցիկ և ազնվական Լավը նավարկեց դեպի լիճը: Չարագործը վազում է ափով և սպասում, որ նա իրեն վայրէջք կատարի: Իհարկե, նա ավելի արագ է վազում, քան Դոբրիի շարքերը, իսկ եթե սահուն է վազում, Դոբրին ավելի արագ է: Այսպիսով, Չարի համար միակ հնարավորությունը ափից Բարին ստանալն է. ատրճանակից ճշգրիտ կրակոցը տարբերակ չէ, քանի որ. Բարին արժեքավոր տեղեկություններ ունի, որոնք Չարը ցանկանում է իմանալ:
Գուդի ռազմավարությունը հետևյալն է. Նա լողում է լճի երկայնքով, աստիճանաբար մոտենում ափին, բայց միշտ փորձում է լինել Չարի հակառակ կողմում, որը քաոսային կերպով վազում է ձախ ու աջ։ Սա ցույց է տրված նկարում: Չարի մեկնարկային դիրքը թող լինի Զ1, իսկ Դոբրեն լճի մեջտեղն է։ Երբ Զլին տեղափոխվում է Զ1, Լավ կլինի լողալ դեպի Դ.1երբ Բադը գտնվում է Զ2, Լավ Դ2. Այն հոսելու է զիգզագով, բայց կանոնի համաձայն՝ Z-ից որքան հնարավոր է հեռու: Սակայն լճի կենտրոնից հեռանալիս Good-ը պետք է շարժվի ավելի ու ավելի մեծ շրջանակներով և ինչ-որ պահի չի կարող պահպանել «Չարի մյուս կողմում լինելու» սկզբունքը։ Հետո նա ամբողջ ուժով թիավարեց դեպի ափը՝ հույս ունենալով, որ Չարը չի շրջի լիճը։ Լավը կհաջողվի՞:
Պատասխանը կախված է նրանից, թե որքան արագ կարող է Good-ը թիավարել Բադի ոտքերի արժեքի համեմատ: Ենթադրենք, որ Վատը լճի վրա վազում է արագությամբ, որը մեկ անգամ գերազանցում է Լավ մարդու արագությունը: Հետևաբար, ամենամեծ շրջանը, որով Բարին կարող է թիավարել չարին դիմակայելու համար, ունի մեկ անգամ ավելի փոքր շառավիղ, քան լճի շառավիղը: Այսպիսով, նկարում մենք ունենք. W կետում մեր Դոբրին սկսում է վազել դեպի ափ: Սա պետք է գնա
արագությամբ
Նրան ժամանակ է պետք։
Չարը բոլորին հետապնդում է իր լավագույն ոտքերով։ Նա պետք է լրացնի շրջանագծի կեսը, որը նրան կպահանջի վայրկյաններ կամ րոպեներ՝ կախված ընտրված միավորներից: Եթե սա ավելին է, քան երջանիկ ավարտ.
Լավը կհեռանա։ Պարզ հաշիվները ցույց են տալիս, թե ինչ պետք է լինի: Եթե Վատը 4,14 անգամ ավելի արագ է վազում, քան Լավը, դա վատ է ավարտվում: Եվ այստեղ խաղում է նաև մեր pi թիվը:
Այն, ինչ կլոր է, գեղեցիկ է: Եկեք նայենք երեք դեկորատիվ ափսեների լուսանկարին - ես դրանք ունեմ իմ ծնողներից հետո: Որքա՞ն է նրանց միջև կորագիծ եռանկյունու մակերեսը: Սա պարզ խնդիր է. պատասխանը նույն լուսանկարում է։ Մենք չենք զարմանում, որ այն հայտնվում է բանաձևում՝ ի վերջո, որտեղ կլորություն կա, այնտեղ էլ pi.
Ես օգտագործեցի, հավանաբար, անծանոթ բառ. Սա գերմանախոս մշակույթի մեջ pi թվի անունն է, և այս ամենը շնորհիվ հոլանդացիների (իրականում գերմանացի, ով ապրում էր Նիդեռլանդներում. ազգությունը այդ ժամանակ նշանակություն չուներ), Լյուդոլֆ Սեուլենացին... 1596 թվականին գ. նա հաշվարկել է դրա ընդլայնման 35 նիշ մինչև տասնորդական. Այս գրառումը պահպանվել է մինչև 1853 թվականը, երբ Ուիլյամ Ռադերֆորդ հաշվել է 440 տեղ. Ձեռքով հաշվարկների ռեկորդակիրն է (հավանաբար ընդմիշտ) Ուիլյամ Շենքս, որը երկար տարիների աշխատանքից հետո հրատարակել է (1873 թ.) ընդլայնում մինչև 702 նիշ. Միայն 1946 թվականին պարզվեց, որ վերջին 180 թվանշանները սխալ են, բայց դրանք այդպես էլ մնացին: 527-ը ճիշտ է. Հետաքրքիր էր գտնել ինքնին սխալը: Արդյունքի հրապարակումից անմիջապես հետո Շենքսը կասկածում էր, որ «ինչ-որ բան այն չէ»՝ կասկածելիորեն մի քանի յոթեր էին մշակվում: Դեռևս չապացուցված (2020 թվականի դեկտեմբեր) վարկածը նշում է, որ բոլոր թվերը պետք է հայտնվեն հավասար հաճախականությամբ։ Սա դրդեց Դ. Թ. Ֆերգյուսոնին վերանայել Շենքսի հաշվարկները և գտնել ուսանողի սխալ:
Հետագայում մարդկանց օգնեցին հաշվիչներն ու համակարգիչները։ Ներկայիս (դեկտեմբեր 2020) ռեկորդակիրն է Թիմոթի Մուլիկան (50 տրիլիոն տասնորդական տեղ): Հաշվարկները տեւել են... 303 օր։ Եկեք խաղանք. որքա՞ն տեղ կզբաղեցնի այս թիվը, եթե տպագրվի ստանդարտ գրքում: Մինչև վերջերս տեքստի տպված «կողմը» 1800 նիշ էր (30 տողից 60 տող): Եկեք կրճատենք նիշերի և էջի լուսանցքների քանակը, 5000 նիշ խցկենք էջի վրա և տպենք 50 էջանոց գրքեր: Այսպիսով, XNUMX տրիլիոն նիշերը կզբաղեցնեն տասը միլիոն գիրք: Վատ չէ, չէ՞:
Հարցն այն է՝ ո՞րն է նման պայքարի իմաստը։ Զուտ տնտեսական տեսանկյունից ինչո՞ւ պետք է հարկատուն վճարի մաթեմատիկոսների նման «զվարճանքի» համար։ Պատասխանը բարդ չէ. Առաջին, Սեուլենից հորինել են բլանկներ հաշվարկների համար, ապա օգտակար լոգարիթմական հաշվարկների համար։ Եթե նրան ասեին՝ խնդրում եմ, բլանկներ կառուցեք, նա կպատասխաներ՝ ինչո՞ւ։ Նմանատիպ հրաման. Ինչպես գիտեք, այս հայտնագործությունը բոլորովին պատահական չէր, բայց դեռևս այլ տեսակի հետազոտության կողմնակի արդյունք էր:
Երկրորդ՝ կարդանք, թե ինչ է գրում Թիմոթի Մուլիկան. Ահա նրա ստեղծագործության սկզբի վերարտադրությունը. Պրոֆեսոր Մալիկանն աշխատում է կիբերանվտանգության ոլորտում, և pi թվերը փոքր հոբբի են, որտեղ նա պարզապես փորձարկում էր իր նոր կիբերանվտանգության համակարգը:
Բայց այդ 3,14159-ն ավելի քան բավարար է ճարտարագիտության մեջ, դա այլ հարց է: Եկեք մի պարզ հաշվարկ անենք. Յուպիտերը Արեգակից գտնվում է 4,774 Tm հեռավորության վրա (տեռաչափ = 1012 մետր): Նման շառավղով 1 միլիմետր անհեթեթ ճշտությամբ նման շրջանագծի շրջագիծը հաշվարկելու համար բավական կլինի վերցնել π = 3,1415926535897932:
Հետևյալ լուսանկարում պատկերված է լեգո աղյուսներից պատրաստված քառորդ շրջան։ Ես օգտագործել եմ 1774 բարձիկներ, և այն եղել է pi մոտ 3,08: Լավագույնը չէ, բայց ի՞նչ սպասել: Չի կարելի քառակուսիներից շրջան կազմել:
Հենց այդպես. π թիվը հայտնի է նրանով, որ քառակուսի շրջան - մաթեմատիկական խնդիր, որն իր լուծմանն է սպասում ավելի քան 2000 տարի՝ սկսած հունական ժամանակներից։ Կարո՞ղ եք կողմնացույցի և ուղղության միջոցով կառուցել քառակուսի, որի մակերեսը հավասար է տվյալ շրջանագծի մակերեսին:
«Շրջանի քառակուսի» տերմինը նույնպես մտել է խոսակցական լեզվում՝ որպես անհնարին բանի խորհրդանիշ։ Սեղմում եմ ստեղնը՝ հարցնելու՝ սա մեր գեղեցիկ երկրի քաղաքացիներին բաժանող թշնամանքի խրամատը լցնելու ինչ-որ փորձ է։ Բայց ես արդեն խուսափում եմ այս թեմայից, քանի որ երևի թե լավ եմ զգում միայն մաթեմատիկայից:
Եվ նորից նույնը՝ շրջանագծի քառակուսիների հարցի լուծումն այնպես չի հայտնվել, որ լուծման հեղինակը. Չարլզ Լինդեման, 1882-ին վճռական է տրամադրվել եւ վերջապես հաջողել է. Որոշ չափով այո, բայց դա լայն ճակատից հարձակման արդյունք էր։ Մաթեմատիկոսները սովորել են, որ թվերը լինում են տարբեր տեսակների։ Ոչ միայն ամբողջ թվեր, ռացիոնալ (այսինքն՝ կոտորակներ) և իռացիոնալ: Անչափելիությունը կարող է նաև ավելի լավ կամ վատ լինել: Մենք կարող ենք դպրոցից հիշել, որ իռացիոնալ թիվը √2 է, այն թիվն է, որն արտահայտում է քառակուսու անկյունագծի երկարության և նրա կողմի երկարության հարաբերությունը: Ինչպես ցանկացած իռացիոնալ թիվ, այն ունի անորոշ ընդլայնում։ Հիշեցնեմ, որ պարբերական ընդլայնումը ռացիոնալ թվերի հատկություն է, այսինքն. մասնավոր ամբողջ թվեր.
Այստեղ 142857 թվերի հաջորդականությունը կրկնվում է անորոշ ժամանակով:√2-ի համար դա տեղի չի ունենա, սա իռացիոնալության մի մասն է: Բայց դուք կարող եք.
(խմբակցությունը շարունակվում է ընդմիշտ): Մենք այստեղ տեսնում ենք օրինաչափություն, բայց այլ տեսակի: Pi-ն այնքան էլ տարածված չէ: Այն հնարավոր չէ ստանալ հանրահաշվական հավասարում լուծելով, այսինքն՝ այնպիսի հավասարում, որում չկա քառակուսի արմատ, չկա լոգարիթմ, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։ Սա արդեն ցույց է տալիս, որ այն կառուցելի չէ. շրջանակներ գծելը հանգեցնում է քառակուսի ֆունկցիաների, իսկ գծերը՝ ուղիղ գծերը՝ առաջին աստիճանի հավասարումների:
Երևի շեղվել եմ հիմնական սյուժեից։ Միայն բոլոր մաթեմատիկայի զարգացումը հնարավորություն տվեց վերադառնալ արմատներին՝ մտածողների հնագույն գեղեցիկ մաթեմատիկային, ովքեր մեզ համար ստեղծել են եվրոպական մտքի մշակույթը, որն այսօր ոմանց կողմից այդքան կասկածելի է:
Տարբեր ներկայացուցչական նախշերից ես ընտրել եմ երկուսը: Դրանցից առաջինը կապում ենք ազգանվան հետ Գոթֆրիդ Վիլհելմ Լայբնից (1646-1716).
Բայց նա հայտնի էր (մոդել, ոչ թե Լայբնից) միջնադարյան հինդու գիտնական Սանգամագրամի Մադհավային (1350-1425): Տեղեկատվության փոխանցումն այն ժամանակ հիանալի չէր. ինտերնետ կապերը հաճախ խելագարված էին, իսկ բջջային հեռախոսների համար մարտկոցներ չկային (որովհետև էլեկտրոնիկան դեռ հորինված չէր): Բանաձևը գեղեցիկ է, բայց հաշվարկների համար անօգուտ։ Հարյուր բաղադրիչներից ստացվում է «ընդամենը» 3,15159։
նա մի փոքր ավելի լավ է Վիետի բանաձեւը (մեկը քառակուսի հավասարումներից), և դրա բանաձևը հեշտ է ծրագրավորել, քանի որ արտադրյալի հաջորդ անդամը նախորդի քառակուսի արմատն է գումարած երկու:
Մենք գիտենք, որ շրջանակը կլոր է: Կարելի է ասել, որ սա 100 տոկոսանոց փուլ է։ Մաթեմատիկոսը կհարցնի՝ կարո՞ղ է ինչ-որ բան 1 տոկոսով կլոր չլինել։ Ըստ երևույթին, սա օքսիմորոն է, արտահայտություն, որը պարունակում է թաքնված հակասություն, ինչպիսին է տաք սառույցը: Բայց եկեք փորձենք չափել, թե որքան կլոր կարող են լինել թվերը: Ստացվում է, որ լավ չափումը տրվում է հետևյալ բանաձևով, որում S-ը մակերեսն է, իսկ L-ն՝ նկարի շրջագիծը։ Եկեք պարզենք, որ շրջանն իսկապես կլոր է, այդ սիգման հավասար է 6-ի: Շրջանի մակերեսը շրջագիծն է: Տեղադրում ենք... և տեսնում ենք, թե որն է ճիշտ։ Որքա՞ն կլոր է քառակուսին: Հաշվարկները նույնքան պարզ են, ես նույնիսկ չեմ տա: Վերցնենք շառավղով շրջանով գծագրված կանոնավոր վեցանկյուն։ Պարագիծն ակնհայտորեն XNUMX է:
լեհ
Ինչ վերաբերում է սովորական վեցանկյունին: Նրա շրջագիծը 6 է, իսկ մակերեսը՝ XNUMX
Այսպիսով, մենք ունենք
որը մոտավորապես հավասար է 0,952-ի։ Վեցանկյունը 95%-ից ավելի «կլոր» է։
Հետաքրքիր արդյունք է ստացվում մարզադաշտի կլորությունը հաշվարկելիս։ Համաձայն IAAF-ի կանոնների՝ ուղիղները և ոլորանները պետք է ունենան 40 մետր երկարություն, թեև շեղումները թույլատրվում են: Հիշում եմ, որ Օսլոյի «Բիսլեթ» մարզադաշտը նեղ ու երկար էր: Ես գրում եմ «եղել», քանի որ ես նույնիսկ վազեցի դրա վրա (սիրողականի համար), բայց ավելի քան XNUMX տարի առաջ: Եկեք նայենք.
Եթե աղեղն ունի 100 մետր շառավիղ, ապա այդ աղեղի շառավիղը մետր է։ Մարգագետինների մակերեսը քառակուսի մետր է, իսկ դրանից դուրս (որտեղ ցատկող տախտակներ կան) ավելանում է մինչև քառակուսի մետր։ Եկեք սա դնենք բանաձևի մեջ.
Այսպիսով, մարզադաշտի կլորությունը կապ ունի՞ հավասարակողմ եռանկյունու հետ: Քանի որ հավասարակողմ եռանկյան բարձրությունը նույնքան է, որքան նրա կողմը: Թվերի պատահական համընկնում է, բայց հաճելի է։ Ինձ դուր է գալիս: Ի՞նչ կասեք ընթերցողների մասին:
Դե, լավ է, որ այն կլոր է, չնայած ոմանք կարող են վիճել, քանի որ վիրուսը, որը ազդում է բոլորիս վրա, կլոր է: Գոնե այդպես են նկարում։
