Հոդված ոչնչի մասին
Պարունակություն
Մանուկ հասակում ինձ գրավում էր «մեխի վրա ապուր» պատմվածքը, որը հավանաբար շատ ընթերցողներին է հայտնի։ Դա ինձ ասաց տատիկս (ծննդյան XNUMX-րդ դար) «Կազակը եկավ և ջուր ուզեց, որովհետև նա մեխ ունի և դրա վրա ապուր կեփի»: Հետաքրքրասեր տանտիրուհին նրան մի կաթսա ջուր տվեց… և մենք գիտենք, թե հետո ինչ եղավ. «ապուրը պետք է լինի աղի, ապուր, տատիկ, աղ», հետո նա լվաց միսը «համը լավացնելու համար» և այլն: Վերջում նա դեն է նետել «խաշած» մեխը։
Այսպիսով, այս հոդվածը պետք է լիներ տարածության դատարկության մասին, և սա 67 թվականի նոյեմբերի 12-ին 2014P / Չուրյումով-Գերասիմենկո գիսաստղի վրա եվրոպական ապարատի վայրէջքի մասին է: Բայց գրելիս ես ենթարկվեցի երկարամյա սովորությանը Ես դեռ մաթեմատիկոս եմ։ Ինչպես է այն Հավանելс Զրո Մաթեմատիկա?
Ինչպե՞ս գոյություն չունի ոչինչ:
Չի կարելի ասել, որ Ոչինչ գոյություն չունի։ Այն գոյություն ունի առնվազն որպես փիլիսոփայական, մաթեմատիկական, կրոնական և ամբողջովին խոսակցական հասկացություն։ Զրոն սովորական թիվ է, ջերմաչափի զրոյական աստիճանը նույնպես ջերմաստիճան է, իսկ բանկում զրոյական մնացորդը տհաճ, բայց սովորական երևույթ է։ Նկատի ունեցեք, որ ժամանակագրության մեջ զրոյական տարի չկա, և դա պայմանավորված է նրանով, որ զրոն մաթեմատիկա է ներմուծվել միայն ուշ միջնադարում, ավելի ուշ, քան վանական Դիոնիսիոսի առաջարկած ժամանակագրությունը (XNUMX-րդ դար):
Տարօրինակ կերպով, մենք իսկապես կարող էինք անել առանց այս զրոյի և, հետևաբար, առանց բացասական թվերի: Տրամաբանության դասագրքերից մեկում գտա մի վարժություն՝ նկարիր կամ ասա, թե ինչպես ես պատկերացնում ձկների բացակայությունը։ Զարմանալի է, այնպես չէ՞: Որևէ մեկը կարող է ձուկ նկարել, բայց ոչ մեկը:
Հիմա հակիրճ հիմնական մաթեմատիկայի դասընթաց. Գոյության արտոնություն տալը ∅ հատված շրջանով նշված դատարկ բազմությանը անհրաժեշտ ընթացակարգ է, որը նման է թվերի բազմությանը զրո ավելացնելուն: Դատարկ բազմությունը միակ բազմությունն է, որը ոչ մի տարր չի պարունակում։ Նման հավաքածուներ.
Բայց երկու տարբեր դատարկ հավաքածուներ չկան: Դատարկ հավաքածուն ներառված է յուրաքանչյուր այլ հավաքածուի մեջ.
Իրոք, մաթեմատիկական տրամաբանության կանոններն ասում են, որ A բազմությունը պարունակվում է B բազմությունում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նախադասությունը.
դա ենթադրում է
∅ դատարկ բազմության դեպքում առաջարկը միշտ կեղծ է, և, հետևաբար, ըստ տրամաբանության օրենքների, ենթատեքստն ընդհանուր առմամբ ճշմարիտ է։ Ամեն ինչ բխում է ստից («այստեղ ես կակտուս կաճեցնեմ, եթե տեղափոխվես հաջորդ դասարան…»): Այսպիսով, քանի որ դատարկ բազմությունը պարունակվում է մյուսներից յուրաքանչյուրի մեջ, ապա եթե դրանք լինեին երկու տարբեր, նրանցից յուրաքանչյուրը կպարունակվեր մյուսի մեջ: Այնուամենայնիվ, եթե երկու հավաքածուներ պարունակվում են միմյանց մեջ, դրանք հավասար են: Ահա թե ինչու. կա միայն մեկ դատարկ հավաքածու:
Դատարկ բազմության գոյության պոստուլատը չի հակասում մաթեմատիկայի ոչ մի օրենքի, ուստի ինչո՞ւ այն գործնականում չկիրառել: Փիլիսոփայական սկզբունքը կոչվում էրՕքամի ածելի» Ավելորդ հասկացությունները բացառելու հրահանգ, բայց ճիշտ Դատարկ բազմության հայեցակարգը շատ օգտակար է մաթեմատիկայի մեջ. Նկատի ունեցեք, որ դատարկ բազմությունը ունի -1 չափս (մինուս մեկ) - զրոյական տարրերը կետերն են և դրանց նոսր համակարգերը, միաչափ տարրերը գծեր են, և մենք խոսեցինք ֆրակտալ չափում ունեցող շատ բարդ մաթեմատիկական տարրերի մասին ֆրակտալների մասին գլխում: .
Հետաքրքիր է, որ մաթեմատիկայի ամբողջ շենքը՝ թվեր, թվեր, ֆունկցիաներ, օպերատորներ, ինտեգրալներ, դիֆերենցիալներ, հավասարումներ... կարելի է բխել մեկ հասկացությունից՝ դատարկ բազմությունից։ Բավական է ենթադրել, որ կա դատարկ հավաքածու, նոր ստեղծված տարրերը կարելի է միավորել հավաքածուների մեջ, որպեսզի կարողանանք կառուցել ամբողջ մաթեմատիկան. Գերմանացի տրամաբան Գոտլոբ Ֆրեգեն այսպես է կառուցել բնական թվերը։ Զրոն բազմությունների դաս է, որոնց տարրերը փոխադարձ համապատասխանության մեջ են դատարկ բազմության տարրերի հետ։ Մեկը բազմությունների դաս է, որի տարրերը փոխադարձ համապատասխանության մեջ են մի բազմության տարրերի հետ, որոնց միակ տարրը դատարկ բազմությունն է: Երկուը բազմությունների դաս է, որոնց տարրերը մեկ առ մեկ են՝ դատարկ բազմությունից բաղկացած բազմության տարրերի հետ և այն բազմության, որի միակ տարրը դատարկ բազմությունն է... և այլն։ Առաջին հայացքից սա շատ բարդ բան է թվում, բայց իրականում այդպես չէ։
Կապույտը տարածվեց վրաս
բուրում էր երախի և անանուխի հոտ...
Վոյցեխ Մլինարսկի, Բերքի աղջիկ
Դժվար է պատկերացնել
Ոչինչ դժվար չէ պատկերացնել։ Ստանիսլավ Լեմի «Ինչպես փրկվեց աշխարհը» պատմվածքում դիզայներ Տրուրլը սարքեց մի մեքենա, որն ամեն ինչ անելու էր՝ սկսած նամակից։ Երբ Կլապաուկիուսը հրամայեց կառուցել այն Նիկ, մեքենան սկսեց հեռացնել տարբեր առարկաներ աշխարհից՝ վերջնական նպատակ ունենալով հեռացնել ամեն ինչ։ Այն պահին, երբ վախեցած Կլապաուկիուսը կանգնեցրեց մեքենան, աշխարհից ընդմիշտ անհետացել էին գարեջրերը, հյուսները, կախվելը, հաքերները, ոտանավորները, ծեծողները, փուֆերը, սրճաղացները, շամփուրները, ֆիլիդրոններն ու սառնամանիքները: Եվ իսկապես, նրանք անհետացան ընդմիշտ ...
Յոզեֆ Տիշները շատ լավ է գրել ոչնչության մասին իր «Լեռնային փիլիսոփայության պատմության» մեջ: Իմ վերջին արձակուրդի ժամանակ ես որոշեցի զգալ այս ոչնչությունը, այսինքն՝ գնացի Պոդալեի Նովի Տարգի և Յաբլոնկայի միջև ընկած տորֆային ճահիճները։ Այս տարածքը նույնիսկ կոչվում է Pustachia: Գնում ես, գնում ես, բայց ճանապարհը չի նվազում՝ իհարկե մեր համեստ, լեհական մասշտաբով։ Մի օր ես ավտոբուս նստեցի Կանադայի Սասկաչևան նահանգում: Դրսում եգիպտացորենի արտ էր։ Կես ժամ քնեցի։ Երբ ես արթնացա, մենք մեքենայով անցնում էինք նույն եգիպտացորենի դաշտով... Բայց սպասիր, սա դատարկ է: Ինչ-որ առումով փոփոխության բացակայությունը պարզապես դատարկություն է։
Մենք սովոր ենք մեր շուրջը տարբեր առարկաների մշտական առկայությանը, և ից Ինչ - որ բան դուք չեք կարող փախչել նույնիսկ փակ աչքերով: «Կարծում եմ, ուրեմն ես եմ», - ասաց Դեկարտը: Եթե ես արդեն ինչ-որ բան եմ մտածել, ուրեմն ես գոյություն ունեմ, ինչը նշանակում է, որ աշխարհում գոնե ինչ-որ բան կա (այսինքն՝ ես): Կա՞ այն, ինչ մտածում էի: Սա կարելի է քննարկել, բայց ժամանակակից քվանտային մեխանիկայում հայտնի է Հայզենբերգի սկզբունքը. յուրաքանչյուր դիտարկում խանգարում է դիտարկվող օբյեկտի վիճակը: Մինչև մենք դա տեսնենք Նիկ այն գոյություն չունի, և երբ մենք սկսում ենք նայել, օբյեկտը դադարում է լինել Հավանել և դառնում է Ինչ - որ բան. Այն դառնում է անհեթեթ մարդաբանական սկզբունքըԻմաստ չկա հարցնել, թե ինչպիսին կլիներ աշխարհը, եթե մենք չլինեինք: Աշխարհն այնպիսին է, ինչպիսին մեզ թվում է: Միգուցե այլ էակներ տեսնեն Երկիրը որպես անկյունային:
Պոզիտրոնը (նման դրական էլեկտրոն) անցք է տարածության մեջ, «էլեկտրոն չկա»։ Ոչնչացման գործընթացում էլեկտրոնը ցատկում է այս անցքը և «ոչինչ չի լինում»՝ չկա անցք, էլեկտրոն: Ես բաց կթողնեմ շատ կատակներ շվեյցարական պանրի անցքերի մասին («ինչքան շատ ունեմ, այնքան քիչ այնտեղ ...»): Հայտնի կոմպոզիտոր Ջոն Քեյջն արդեն այնքան էր օգտագործել իր գաղափարները, որ հորինեց (՞) երաժշտական ստեղծագործություն (՞), որում նվագախումբը նստում է անշարժ 4 րոպե 33 վայրկյան և, իհարկե, ոչինչ չի նվագում։ «Չորս րոպե երեսուներեք վայրկյանը երկու հարյուր յոթանասուներեք է, 273, իսկ մինուս 273 աստիճանը բացարձակ զրո է, որտեղ բոլոր շարժումները դադարում են», - բացատրեց կոմպոզիտորը (՞):
Զտել զրոյի, ոչինչ, նիկ, նիկ, ոչինչ, զրո:
Եժին Անջեյ Վայդայի «Տարիների ընթացքում» ֆիլմում.
օրերն անցնում են»
Ինչ կասեք բոլորի մասին:
Շատերը (պարզ ֆերմերներից մինչև ականավոր փիլիսոփաներ) մտածում էին գոյության երևույթի մասին։ Մաթեմատիկայում իրավիճակը պարզ է՝ կա մի բան, որը համահունչ է։
Նա անհետացավ մարգինալ դաշտերում
Եգիպտացորենի, մոլախոտի և առյուծի բերանում ...
Դե, նման բաներ պատահում են
Հատկապես բերքահավաքի ժամանակ, և բերքահավաքի ժամանակ
հատկապես…
Վոյցեխ Մլինարսկի, Բերքի աղջիկ
Ամեն ինչ գտնվում է «Ոչնչի» մյուս ծայրահեղության մեջ: Մաթեմատիկայում մենք դա գիտենք Ամեն ինչ գոյություն չունի. Պարզապես չափազանց ոչ ճշգրիտ պատկերացում, որ նրա գոյությունը զերծ կլինի հակասություններից: Սա կարելի է հասկանալ հին պարադոքսի օրինակով. «Եթե Աստված ամենակարող է, ապա քար ստեղծիր, որ վերցնես»: Մաթեմատիկական ապացույցը, որ չի կարող լինել բոլոր բազմությունների բազմություններ, հիմնված է թեորեմի վրա երգիչ-Բերշտեյն, որն ասում է, որ «անսահման թիվ» (մաթեմատիկական. կարդինալ համարը) տվյալ բազմության բոլոր անդամների բազմությունը մեծ է այս բազմության տարրերի քանակից։
Եթե հավաքածուն ունի տարրեր, ապա այն ունի 2n ենթաբազմություններ; օրինակ, երբ = 3 և բազմությունը բաղկացած է {1, 2, 3}-ից, ապա գոյություն ունեն հետևյալ ենթաբազմությունները.
- երեք երկտարրից բաղկացած հավաքածու՝ յուրաքանչյուրին բացակայում է 1, 2, 3 թվերից մեկը,
- մեկ դատարկ հավաքածու,
- երեք մեկ տարրից բաղկացած հավաքածու,
- ամբողջ հավաքածուն {1,2,3}
- ընդամենը ութ, 23Իսկ այն ընթերցողները, ովքեր վերջերս են ավարտել դպրոցը, ես կցանկանայի հիշել համապատասխան բանաձևը.
Այս բանաձևի նյուտոնյան նշաններից յուրաքանչյուրը որոշում է k-տարրերի բազմությունների քանակը -տարրերի հավաքածուում:
Մաթեմատիկայի մեջ երկանդամ գործակիցները հայտնվում են շատ այլ վայրերում, օրինակ՝ կրճատված բազմապատկման հետաքրքիր բանաձևերում.
և դրանց ճշգրիտ ձևից շատ ավելի հետաքրքիր է նրանց փոխկախվածությունը:
Դժվար է հասկանալ, թե ինչ է տրամաբանությունը և մաթեմատիկան, և ինչ չէ Ամեն ինչ: Չգոյության փաստարկներ Ճիշտ այնպես, ինչպես Վինի Թուխը, ով քաղաքավարի հարցրեց իր հյուրին՝ Վագրին, վագրերը ընդհանրապես սիրու՞մ են մեղր, կաղին և տատասկ։ «Վագրերին ամեն ինչ դուր է գալիս», - պատասխանեց նա, որից Կուբուսը եզրակացրեց, որ եթե նրանց ամեն ինչ դուր է գալիս, ապա նրանք նույնպես սիրում են քնել հատակին, հետևաբար, նա՝ Վինին, կարող է վերադառնալ անկողին:
Մեկ այլ փաստարկ Ռասելի պարադոքսը. Քաղաքում մի վարսավիր կա, ով սափրում է բոլոր այն տղամարդկանց, ովքեր իրենք իրենց չեն սափրվում: Նա ինքն իրեն սափրվու՞մ է: Երկու պատասխաններն էլ հակասում են առաջ քաշված պայմանին, որ սպանում են նրանց, և միայն նրանց, ովքեր իրենք դա չեն անում։
Փնտրում եմ բոլոր հավաքածուների հավաքածուն
Եզրափակելով, ես կտամ մի խելացի, բայց առավել մաթեմատիկական ապացույց, որ չկա բոլոր հավաքածուների հավաքածու (չշփոթել դրա հետ):
Նախ, մենք ցույց կտանք, որ ցանկացած ոչ դատարկ X բազմության համար անհնար է գտնել փոխադարձաբար եզակի ֆունկցիա, որը քարտեզագրում է այս բազմությունը իր ենթաբազմությունների P(X) բազմությանը: Այսպիսով, ենթադրենք, որ այս գործառույթը գոյություն ունի: Նշանակենք ավանդական զ. Ի՞նչ է f-ը x-ից: Սա հավաքածու է։ xf-ը պատկանում է x-ին? Սա անհայտ է։ Կամ պետք է, կամ ոչ: Բայց որոշ x-ի համար այն դեռ պետք է լինի այնպիսին, որ չպատկանի x-ի f-ին: Դե, ապա հաշվի առեք բոլոր x-երի բազմությունը, որի համար x-ը չի պատկանում f(x-ին): Նշեք այն (այս բազմությունը) A-ով: Այն համապատասխանում է X բազմության որոշ a տարրի: Արդյո՞ք a-ն պատկանում է A-ին: Ենթադրենք, դուք պետք է. Բայց A-ն մի բազմություն է, որը պարունակում է միայն x-ի այն տարրերը, որոնք չեն պատկանում f(x)-ին... Դե, միգուցե այն չի պատկանում A-ին: Բայց A բազմությունը պարունակում է այս հատկության բոլոր տարրերը, հետևաբար նաև A. Ապացույցի ավարտը:
Հետևաբար, եթե լիներ բոլոր բազմությունների ամբողջությունը, դա ինքնին կլիներ իր ենթաբազմությունը, ինչը նախորդ պատճառաբանությամբ անհնար է։
Ֆու, ես կարծում եմ, որ շատ ընթերցողներ չեն տեսել այս ապացույցը: Ավելի շուտ, ես այն ներկայացրի՝ ցույց տալու համար, թե ինչ պետք է անեին մաթեմատիկոսները տասնիններորդ դարի վերջում, երբ նրանք սկսեցին ուսումնասիրել իրենց սեփական գիտության հիմքերը: Պարզվեց, որ խնդիրները այնտեղ են, որտեղ ոչ ոք դրանց չէր սպասում։ Ավելին, ամբողջ մաթեմատիկայի համար հիմքերի վերաբերյալ այս պատճառաբանությունները նշանակություն չունեն. անկախ նրանից, թե ինչ է կատարվում նկուղներում, մաթեմատիկայի ամբողջ շենքը կանգնած է ամուր քարի վրա.
Մինչդեռ վերևում...
Ստանիսլավ Լեմի պատմություններից ևս մեկ բարոյականություն ենք նշում. Իր ճանապարհորդություններից մեկում Իյոն Տիչին հասավ մի մոլորակ, որի բնակիչները երկար էվոլյուցիայից հետո վերջապես հասան զարգացման ամենաբարձր աստիճանին։ Նրանք բոլորն էլ ուժեղ են, նրանք կարող են ամեն ինչ անել, ամեն ինչ իրենց ձեռքի տակ է… և ոչինչ չեն անում: Նրանք պառկել են ավազի վրա և լցնել այն մատների արանքով։ «Եթե ամեն ինչ հնարավոր է, չարժե», - բացատրում են նրանք ցնցված Իջոնին: Թող դա չպատահի մեր եվրոպական քաղաքակրթությանը...
